Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 749 Атанасян — Подробные Ответы
Даны векторы \(\vec{a} = \{-1; 5; 3\}\), \(\vec{b} = \{3; 0; 2\}\), \(\vec{c} = \{0,5; -3; 4\}\) и \(\vec{d} = \{2; 1; 0\}\). Вычислите: а) \(\vec{a} \cdot \vec{b}\); б) \(\|\vec{a}\|\); в) \(\|\vec{d}\|\); г) \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}\); д) \((\vec{a} — \vec{b})(\vec{c} — \vec{d})\).
a) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(3) + (5)(0) + (3)(2) = -3 + 0 + 6 = 3\)
б) \(\|\vec{a}\| = \sqrt{(-1)^2 + (5)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}\)
в) \(\|\vec{d}\| = \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (0)^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}\)
г) \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = (-1, 5, 3) + (3, 0, 2) + (0.5, -3, 4) + (2, 1, 0) = (4.5, 3, 9)\)
д) \((\vec{a} — \vec{b})(\vec{c} — \vec{d}) = (-4, 5, 1) \cdot (-1.5, -4, 4) = -6 + 20 + 4 = -10\)
а) Вычисление скалярного произведения векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)
Подставляя значения компонент векторов, получаем:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(3) + (5)(0) + (3)(2) = -3 + 0 + 6 = 3\)
б) Вычисление модуля вектора \(\vec{a}\):
\(\|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)
Подставляя значения компонент вектора \(\vec{a}\), получаем:
\(\|\vec{a}\| = \sqrt{(-1)^2 + (5)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}\)
в) Вычисление модуля вектора \(\vec{d}\):
\(\|\vec{d}\| = \sqrt{d_1^2 + d_2^2 + d_3^2}\)
Подставляя значения компонент вектора \(\vec{d}\), получаем:
\(\|\vec{d}\| = \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (0)^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}\)
г) Вычисление суммы векторов \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}\):
\(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = (a_1 + b_1 + c_1 + d_1, a_2 + b_2 + c_2 + d_2, a_3 + b_3 + c_3 + d_3)\)
Подставляя значения компонент векторов, получаем:
\(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = (-1 + 3 + 0.5 + 2, 5 + 0 — 3 + 1, 3 + 2 + 4 + 0) =\)
\(= (4.5, 3, 9)\)
д) Вычисление произведения разностей векторов \((\vec{a} — \vec{b})(\vec{c} — \vec{d})\):
\((\vec{a} — \vec{b})(\vec{c} — \vec{d}) = (a_1 — b_1)(c_1 — d_1) + (a_2 — b_2)(c_2 — d_2) + (a_3 — b_3)(c_3 — d_3)\)
Подставляя значения компонент векторов, получаем:
\((\vec{a} — \vec{b})(\vec{c} — \vec{d}) = (-1 — 3)(-0.5 — 2) + (5 — 0)(-3 — 1) + (3 — 2)(4 — 0) = \)
\(=(-4)(
-2.5) + 5(-4) + 1(4) = 10 — 20 + 4 = -6\)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.