ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 746 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите радиус сечения сферы \(x^2+y^2+2=36\) плоскостью, проходящей через точку M \((2; 4; 5)\) и перпендикулярной к оси абсцисс

Плоскость, проходящая через точку M(2; 4; 5) перпендикулярно оси абсцисс, имеет уравнение \(x = 2\). Пересечение этой плоскости со сферой \(x^2 + y^2 + 2 = 36\) является окружностью, радиус которой вычисляется по формуле \(r = \sqrt{36 — 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\).

Дано: Плоскость проходит через точку M(2; 4; 5) и перпендикулярна оси абсцисс. Уравнение сферы, которую пересекает эта плоскость, — \(x^2 + y^2 + 2 = 36\).

Чтобы найти радиус сечения сферы этой плоскостью, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать уравнение плоскости. Так как плоскость перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид \(x = 2\).

2. Подставить уравнение плоскости в уравнение сферы:
\(2^2 + y^2 + 2 = 36\)
\(4 + y^2 = 32\)
\(y^2 = 28\)
\(y = \pm \sqrt{28}\)

3. Радиус сечения сферы плоскостью равен расстоянию от центра сферы до точек пересечения плоскости и сферы. Центр сферы находится в начале координат, а точки пересечения имеют координаты \((2, \pm \sqrt{28}, 5)\).

4. Расстояние от центра сферы до точек пересечения вычисляется по формуле:
\(r = \sqrt{(2 — 0)^2 + (\pm \sqrt{28} — 0)^2 + (5 — 0)^2}\)
\(r = \sqrt{4 + 28 + 25}\)
\(r = \sqrt{57}\)
\(r = 4\sqrt{2}\)

Таким образом, радиус сечения сферы плоскостью, проходящей через точку M(2; 4; 5) и перпендикулярной оси абсцисс, равен \(4\sqrt{2}\).