Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 745 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите координаты точек пересечения сферы, заданной уравнением \((x — 3)^2 + y^2 + (2+5)^2= 25\), с осями координат.
Для нахождения координат точек пересечения сферы, заданной уравнением \((x — 3)^2 + y^2 + (z — 5)^2= 25\), с осями координат, необходимо подставить \(x=0\), \(y=0\) и \(z=0\) в данное уравнение и решить полученные квадратные уравнения.
Для пересечения с осью \(x\):
\((x — 3)^2 + 0^2 + (0 — 5)^2= 25\)
\(x^2 — 6x + 9 + 25 = 25\)
\(x^2 — 6x + 34 = 0\)
\(x = 3 \pm \sqrt{9 — 34} = 3 \pm \sqrt{-25} = 3 \pm 5i\)
Таким образом, сфера пересекает ось \(x\) в точках \((3, 0, 0)\) и \((3, 0, 0)\).
Для пересечения с осью \(y\):
\(0^2 + y^2 + (0 — 5)^2= 25\)
\(y^2 + 25 = 25\)
\(y^2 = 0\)
\(y = 0\)
Таким образом, сфера пересекает ось \(y\) в точке \((0, 0, 0)\).
Для пересечения с осью \(z\):
\(0^2 + 0^2 + (z — 5)^2= 25\)
\(z^2 — 10z + 25 = 25\)
\(z^2 — 10z = 0\)
\(z = 0, z = 10\)
Таким образом, сфера пересекает ось \(z\) в точках \((0, 0, 0)\) и \((0, 0, 10)\).
Для нахождения координат точек пересечения сферы, заданной уравнением \((x — 3)^2 + y^2 + (z — 5)^2= 25\), с осями координат, необходимо последовательно выполнить следующие шаги:
1. Найдем точки пересечения сферы с осью \(x\):
Для этого в уравнение сферы подставим \(y=0\) и \(z=0\):
\((x — 3)^2 + 0^2 + (0 — 5)^2= 25\)
\(x^2 — 6x + 9 + 25 = 25\)
\(x^2 — 6x + 34 = 0\)
Решая это квадратное уравнение, получаем:
\(x = 3 \pm \sqrt{9 — 34} = 3 \pm \sqrt{-25} = 3 \pm 5i\)
Таким образом, сфера пересекает ось \(x\) в точках \((3, 0, 0)\) и \((3, 0, 0)\).
2. Найдем точки пересечения сферы с осью \(y\):
Для этого в уравнение сферы подставим \(x=0\) и \(z=0\):
\(0^2 + y^2 + (0 — 5)^2= 25\)
\(y^2 + 25 = 25\)
\(y^2 = 0\)
\(y = 0\)
Таким образом, сфера пересекает ось \(y\) в точке \((0, 0, 0)\).
3. Найдем точки пересечения сферы с осью \(z\):
Для этого в уравнение сферы подставим \(x=0\) и \(y=0\):
\(0^2 + 0^2 + (z — 5)^2= 25\)
\(z^2 — 10z + 25 = 25\)
\(z^2 — 10z = 0\)
\(z = 0, z = 10\)
Таким образом, сфера пересекает ось \(z\) в точках \((0, 0, 0)\) и \((0, 0, 10)\).
Итоговый ответ:
Координаты точек пересечения сферы, заданной уравнением \((x — 3)^2 + y^2 + (z — 5)^2= 25\), с осями координат:
— Ось \(x\): \((3, 0, 0)\) и \((3, 0, 0)\)
— Ось \(y\): \((0, 0, 0)\)
— Ось \(z\): \((0, 0, 0)\) и \((0, 0, 10)\)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.