Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 741 Атанасян — Подробные Ответы
Даны точки M \((2; -1; 3)\), N \((-4; 1; -1)\), P \((-3; 1; 2)\) и Q \((1; 1; 0)\). Вычислите расстояние между серединами отрезков MN и PQ.
Обозначим середину отрезка MN как O, а середину отрезка PQ как K. Координаты точек:
O = \(\left(\frac{2 — (-4)}{2}, \frac{-1 + 1}{2}, \frac{3 — (-1)}{2}\right) = (-1, 0, 1)\)
K = \(\left(\frac{-3 + 1}{2}, \frac{1 + 1}{2}, \frac{2 + 0}{2}\right) = (-1, 1, 1)\)
Расстояние между точками O и K вычисляется по формуле:
\(|OK| = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1\)
Таким образом, расстояние между серединами отрезков MN и PQ равно 1.
Для решения данной задачи нам необходимо выполнить следующие шаги:
1. Определить координаты середин отрезков MN и PQ.
2. Вычислить расстояние между этими точками.
Начнем с первого шага. Координаты точек M, N, P и Q даны в условии:
M = \((2, -1, 3)\), N = \((-4, 1, -1)\), P = \((-3, 1, 2)\), Q = \((1, 1, 0)\)
Чтобы найти координаты середины отрезка MN, нужно вычислить среднее арифметическое координат точек M и N:
Координаты середины отрезка MN:
O = \(\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{-1 + 1}{2}, \frac{3 + (-1)}{2}\right) = (-1, 0, 1)\)
Аналогично, для нахождения координат середины отрезка PQ:
Координаты середины отрезка PQ:
K = \(\left(\frac{-3 + 1}{2}, \frac{1 + 1}{2}, \frac{2 + 0}{2}\right) = (-1, 1, 1)\)
Теперь перейдем ко второму шагу — вычислению расстояния между точками O и K. Для этого будем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
\(|OK| = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2}\)
Подставляя координаты точек O и K, получаем:
\(|OK| = \sqrt{(-1 — (-1))^2 + (1 — 0)^2 + (1 — 1)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1\)
Таким образом, расстояние между серединами отрезков MN и PQ равно 1.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.