Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 739 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите координаты единичных векторов, сонаправленных соответственно с векторами \(\vec{a} = \{2; 1; -2\}\) и \(\vec{b} = \{1; 3; 0\}\)
а) Единичный вектор \(\vec{e}\) сонаправлен с вектором \(\vec{a}\). Тогда:
\(x = \frac{2}{3}, y = \frac{1}{3}, z = -\frac{2}{3}\)
\(|\vec{e}| = 1 \rightarrow \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1 \rightarrow x^2 + \frac{x^2}{4} + x^2 = 1 \rightarrow 2.25x^2 = \)
\(=1 \rightarrow |x| = \frac{2}{3}\)
Таким образом, \(\vec{e} = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right)\)
б) Единичный вектор \(\vec{e’}\) сонаправлен с вектором \(\vec{b}\). Тогда:
\(x = \frac{1}{\sqrt{10}}, y = \frac{3}{\sqrt{10}}, z = 0\)
\(|\vec{e’}| = 1 \rightarrow \sqrt{x^2 + y^2} = 1 \rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{10}}, y = \frac{3}{\sqrt{10}}\)
Таким образом, \(\vec{e’} = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}, 0\right)\)
а) Для нахождения единичного вектора \(\vec{e}\), сонаправленного с вектором \(\vec{a} = \{2, 1, -2\}\), необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найдем координаты единичного вектора \(\vec{e}\) в виде \(\vec{e} = \{x, y, z\}\). Поскольку \(\vec{e}\) сонаправлен с \(\vec{a}\), их координаты пропорциональны: \(x:y:z = 2:1:-2\).
2. Нормируем вектор \(\vec{e}\), чтобы его длина была равна 1: \(|\vec{e}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1\).
3. Решая уравнение \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1\), получаем: \(x^2 + \frac{x^2}{4} + x^2 = 1 \rightarrow 2.25x^2 = 1 \rightarrow |x| = \frac{2}{3}\).
4. Таким образом, координаты единичного вектора \(\vec{e}\), сонаправленного с \(\vec{a}\), равны: \(\vec{e} = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right)\).
б) Для нахождения единичного вектора \(\vec{e’}\), сонаправленного с вектором \(\vec{b} = \{1, 3, 0\}\), необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найдем координаты единичного вектора \(\vec{e’}\) в виде \(\vec{e’} = \{x, y, z\}\). Поскольку \(\vec{e’}\) сонаправлен с \(\vec{b}\), их координаты пропорциональны: \(x:y:z = 1:3:0\).
2. Нормируем вектор \(\vec{e’}\), чтобы его длина была равна 1: \(|\vec{e’}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1\).
3. Решая уравнение \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1\), получаем: \(x = \frac{1}{\sqrt{10}}, y = \frac{3}{\sqrt{10}}, z = 0\).
4. Таким образом, координаты единичного вектора \(\vec{e’}\), сонаправленного с \(\vec{b}\), равны: \(\vec{e’} = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}, 0\right)\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.