1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по геометрии за 11 класс Учебник 📕 Атанасян — Все Части
Геометрия
11 класс учебник Атанасян
11 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Авторы
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г.
Год
2015-2025
Издательство
Просвещение
Описание

Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?

Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.

Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.

Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.

Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.

Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.

Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.

В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.

ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 739 Атанасян — Подробные Ответы

Задача

Найдите координаты единичных векторов, сонаправленных соответственно с векторами \(\vec{a} = \{2; 1; -2\}\) и \(\vec{b} = \{1; 3; 0\}\)

Краткий ответ:

а) Единичный вектор \(\vec{e}\) сонаправлен с вектором \(\vec{a}\). Тогда:
\(x = \frac{2}{3}, y = \frac{1}{3}, z = -\frac{2}{3}\)
\(|\vec{e}| = 1 \rightarrow \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1 \rightarrow x^2 + \frac{x^2}{4} + x^2 = 1 \rightarrow 2.25x^2 = \)
\(=1 \rightarrow |x| = \frac{2}{3}\)
Таким образом, \(\vec{e} = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right)\)

б) Единичный вектор \(\vec{e’}\) сонаправлен с вектором \(\vec{b}\). Тогда:
\(x = \frac{1}{\sqrt{10}}, y = \frac{3}{\sqrt{10}}, z = 0\)
\(|\vec{e’}| = 1 \rightarrow \sqrt{x^2 + y^2} = 1 \rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{10}}, y = \frac{3}{\sqrt{10}}\)
Таким образом, \(\vec{e’} = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}, 0\right)\)

Подробный ответ:

а) Для нахождения единичного вектора \(\vec{e}\), сонаправленного с вектором \(\vec{a} = \{2, 1, -2\}\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем координаты единичного вектора \(\vec{e}\) в виде \(\vec{e} = \{x, y, z\}\). Поскольку \(\vec{e}\) сонаправлен с \(\vec{a}\), их координаты пропорциональны: \(x:y:z = 2:1:-2\).
2. Нормируем вектор \(\vec{e}\), чтобы его длина была равна 1: \(|\vec{e}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1\).
3. Решая уравнение \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1\), получаем: \(x^2 + \frac{x^2}{4} + x^2 = 1 \rightarrow 2.25x^2 = 1 \rightarrow |x| = \frac{2}{3}\).
4. Таким образом, координаты единичного вектора \(\vec{e}\), сонаправленного с \(\vec{a}\), равны: \(\vec{e} = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right)\).

б) Для нахождения единичного вектора \(\vec{e’}\), сонаправленного с вектором \(\vec{b} = \{1, 3, 0\}\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем координаты единичного вектора \(\vec{e’}\) в виде \(\vec{e’} = \{x, y, z\}\). Поскольку \(\vec{e’}\) сонаправлен с \(\vec{b}\), их координаты пропорциональны: \(x:y:z = 1:3:0\).
2. Нормируем вектор \(\vec{e’}\), чтобы его длина была равна 1: \(|\vec{e’}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1\).
3. Решая уравнение \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1\), получаем: \(x = \frac{1}{\sqrt{10}}, y = \frac{3}{\sqrt{10}}, z = 0\).
4. Таким образом, координаты единичного вектора \(\vec{e’}\), сонаправленного с \(\vec{b}\), равны: \(\vec{e’} = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}, 0\right)\).


Исследовательские задачи
Общая оценка
3.8 / 5
Комментарии
Другие предметы
Как пользоваться ГДЗ

Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.