ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 736 Атанасян — Подробные Ответы

Даны точки А \((2; 0; 1)\), В \((3; 2; 2)\) и С \((2; 3; 6)\). Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника АВС.

Как известно, медиана проводится к середине противоположной стороны. Тогда вычислим середину стороны АС: \(K = \left(\frac{2+2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1+6}{2}\right) = (2,1.5,3.5)\). Также известно, что медианы в точке пересечения делятся в соотношении 1:2. Зная это, легко получить формулу для вычисления искомой точки О: \(O = K + \frac{B-K}{3} = \frac{2(2,1.5,3.5) + (3,2,2)}{3} = \left(\frac{7}{3}, \frac{5}{3}, \frac{10}{3}\right)\).

Задача заключается в нахождении координат точки О, являющейся пересечением медиан треугольника ABC, где координаты вершин треугольника заданы:
A(2,0,1), B(3,2,2), C(2,3,6).

Решение:
1. Найдем координаты середины стороны AC треугольника ABC:
Медиана проводится к середине противоположной стороны, поэтому координаты середины стороны AC будут являться координатами точки K.
Для нахождения координат точки K воспользуемся формулой средней точки:
\(K = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2}\right) = \left(\frac{2 + 2}{2}, \frac{0 + 3}{2}, \frac{1 + 6}{2}\right) = (2, 1.5, 3.5)\)

2. Известно, что медианы треугольника пересекаются в точке, которая делит их в отношении 1:2. Поэтому для нахождения координат точки O можно использовать следующую формулу:
\(O = K + \frac{B — K}{3}\)
Подставляя известные значения, получаем:
\(O = (2, 1.5, 3.5) + \frac{(3, 2, 2) — (2, 1.5, 3.5)}{3} = \left(\frac{7}{3}, \frac{5}{3}, \frac{10}{3}\right)\)

Таким образом, координаты точки O, являющейся пересечением медиан треугольника ABC, равны \(\left(\frac{7}{3}, \frac{5}{3}, \frac{10}{3}\right)\).