ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 735 Атанасян — Подробные Ответы

Даны точки А \((3; 5; 4)\), В \((4; 6; 5)\), С \((6; -2; 1)\) и D \((5; -3; 0)\). Докажите, что ABCD — параллелограмм

Для того, чтобы доказать, что ABCD — параллелограмм, достаточно доказать коллинеарность векторов AB и CD, а также AD и BC. Вычислим координаты этих векторов:

AB = (4,6,5) — (3,5,4) = (1,1,1)
BC = (6,-2,1) — (4,6,5) = (2,-8,-4)
CD = (5,-3,0) — (6,-2,1) = (-1,-1,-1)
AD = (5,-3,0) — (3,5,4) = (2,-8,-4)

Проверим коллинеарность:
\(\frac{a_x}{b_x} = -1, \frac{a_y}{b_y} = -1, \frac{a_z}{b_z} = -1\) — векторы AB и CD коллинеарны
\(\frac{a_x}{b_x} = 1, \frac{a_y}{b_y} = 1, \frac{a_z}{b_z} = 1\) — векторы AD и BC коллинеарны

Таким образом, ABCD является параллелограммом.

Рассмотрим три примера с векторами и их компланарностью:

а) Вектора \((1,0,0)\) и \((0,1,0)\) компланарны, так как их смешанное произведение равно нулю:
\((1,0,0) \times (0,1,0) = (1 \cdot 1 — 0 \cdot 0) = 1\)

Смешанное произведение векторов \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\) и \(\vec{c} = (c_1, c_2, c_3)\) определяется как:
\(\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c} = a_1(b_2c_3 — b_3c_2) — a_2(b_1c_3 — b_3c_1) + a_3(b_1c_2 — b_2c_1)\)

В данном случае, \(\vec{a} = (1,0,0)\), \(\vec{b} = (0,1,0)\) и \(\vec{c} = (1 \cdot 1 — 0 \cdot 0) = 1\). Таким образом, векторы компланарны.

б) Вектора \((1,0,0)\), \((0,1,0)\) и \((0,0,1)\) компланарны, так как их смешанное произведение равно нулю:
\((1,0,0) \times (0,1,0) \times (0,0,1) = (1 \cdot 1 \cdot 1 — 0 \cdot 0 \cdot 1 — 0 \cdot 1 \cdot 0 — 1 \cdot 0 \cdot 0) = 1\)

Смешанное произведение трех векторов \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\) и \(\vec{c} = (c_1, c_2, c_3)\) определяется как:
\(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = a_1(b_2c_3 — b_3c_2) — a_2(b_1c_3 — b_3c_1) + a_3(b_1c_2 — b_2c_1)\)

В данном случае, \(\vec{a} = (1,0,0)\), \(\vec{b} = (0,1,0)\) и \(\vec{c} = (0,0,1)\). Вычисляя смешанное произведение, получаем \(1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\), что означает, что векторы компланарны.

в) Вектора \((1,1,1)\), \((1,-1,0)\) и \((2,3,-1)\) не компланарны, так как их смешанное произведение не равно нулю:
\((1,1,1) \times (1,-1,0) \times (2,3,-1) = 1 + 4 + 3 + 2 — 6 + 1 = 5 \neq 0\)

Смешанное произведение трех векторов \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\) и \(\vec{c} = (c_1, c_2, c_3)\) определяется как:
\(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = a_1(b_2c_3 — b_3c_2) — a_2(b_1c_3 — b_3c_1) + a_3(b_1c_2 — b_2c_1)\)

В данном случае, \(\vec{a} = (1,1,1)\), \(\vec{b} = (1,-1,0)\) и \(\vec{c} = (2,3,-1)\). Вычисляя смешанное произведение, получаем \(1 + 4 + 3 + 2 — 6 + 1 = 5 \neq 0\), что означает, что векторы не компланарны.