Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 734 Атанасян — Подробные Ответы
Компланарны ли векторы: а) \(\vec{a} = \{-1; 2; 3\}\), \(\vec{b} = \{1; -k; 6\}\); б) \(\vec{b} = \{2; 1; 1,5\}\), \(\vec{c} = \{1; 1; 1\}\), \(\vec{d} = \{1; -1; 2\}\); в) \(\vec{a} = \{1; 1; 1\}\), \(\vec{b} = \{2; 3; -1\}\)?
a) Вектора \((1,0,0)\) и \((0,1,0)\) компланарны, так как их смешанное произведение равно нулю: \((1,0,0) \times (0,1,0) = (1 — 0) = 0\).
б) Вектора \((1,0,0)\), \((0,1,0)\) и \((0,0,1)\) компланарны, так как их смешанное произведение равно нулю: \((1,0,0) \times (0,1,0) \times (0,0,1) = (1 — 0 — 0) = 0\).
в) Вектора \((1,1,1)\), \((1,-1,0)\) и \((2,3,-1)\) не компланарны, так как их смешанное произведение не равно нулю: \((1,1,1) \times (1,-1,0) \times (2,3,-1) = 1 + 4 + 3 + 2 — 6 + 1 = 5 \neq 0\).
Рассмотрим условие компланарности векторов:
Три вектора \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) называются компланарными, если их смешанное произведение равно нулю:
\(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0\)
a) Найдем смешанное произведение векторов \(\vec{i} = (1,0,0)\) и \(\vec{j} = (0,1,0)\):
\(\vec{i} \cdot (\vec{j} \times \vec{k}) = (1,0,0) \cdot (0,1,0 \times 0,-1) = (1,0,0) \cdot (0,0,-1) = 0\)
Так как смешанное произведение равно нулю, вектора \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) компланарны.
б) Найдем смешанное произведение векторов \(\vec{i} = (1,0,0)\), \(\vec{j} = (0,1,0)\) и \(\vec{k} = (0,0,1)\):
\(\vec{i} \cdot (\vec{j} \times \vec{k}) = (1,0,0) \cdot (0,1,0 \times 0,0,1) = (1,0,0) \cdot (0,0,1) = 0\)
Так как смешанное произведение равно нулю, вектора \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) и \(\vec{k}\) компланарны.
в) Найдем смешанное произведение векторов \(\vec{a} = (1,1,1)\), \(\vec{b} = (1,-1,0)\) и \(\vec{c} = (2,3,-1)\):
\(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (1,1,1) \cdot (1,-1,0 \times 2,3,-1) = (1,1,1) \cdot (1,3,2) = 1 + 4 +\)
\(+ 3 + 2 — 6 + 1 = 5\)
Так как смешанное произведение не равно нулю, вектора \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) не компланарны.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.