Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 732 Атанасян — Подробные Ответы
Коллинеарны ли векторы: а) \(\vec{a} = \{-5; 3; -1\}\) и \(\vec{b} = \{6; -10; -2\}\); б) \(\vec{a} = \{-2; 3; 7\}\) и \(\vec{b} = \{-1; 1,5; 3,5\}\); в) \(\vec{a} = \{2; 5; -1\}\) и \(\vec{b} = \{6; -5; 9\}\); г) \(\vec{a} = \{0,7; -1,2; -5,2\}\) и \(\vec{b} = \{-2,8; 4,8; -20,8\}\)?
Решение:
а) Вектора не коллинеарны, так как \(a_x/b_x \neq a_y/b_y \neq a_z/b_z\).
б) Вектора коллинеарны, так как \(a_x/b_x = a_y/b_y = a_z/b_z\).
в) Вектора коллинеарны, так как \(a_x/b_x = a_y/b_y = a_z/b_z\).
г) Вектора не коллинеарны, так как \(a_x/b_x \neq a_y/b_y \neq a_z/b_z\).
Решение:
Для проверки коллинеарности векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) необходимо выполнить следующие шаги:
1. Записать векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) в координатной форме:
\(\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)\)
\(\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)\)
2. Проверить, существует ли число \(n\), такое что \(\vec{a} = n\vec{b}\). Это означает, что координаты векторов должны быть пропорциональны:
\(\frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z} = n\)
3. Если условие в пункте 2 выполняется, то векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны. В противном случае, векторы не коллинеарны.
Применим этот алгоритм к заданным примерам:
а) \(\vec{a} = (-5.3, -1), \vec{b} = (6, -10, -2)\)
Вычисляем отношения координат:
\(\frac{a_x}{b_x} = \frac{-5.3}{6} \neq \frac{a_y}{b_y} = \frac{-1}{-10} \neq \frac{a_z}{b_z} = \frac{0}{-2}\)
Так как хотя бы одно из отношений не равно другим, векторы не коллинеарны.
б) \(\vec{a} = (-2.3, 7), \vec{b} = (-1, 1.5, 3.5)\)
Вычисляем отношения координат:
\(\frac{a_x}{b_x} = \frac{-2.3}{-1} = 2.3 = \frac{a_y}{b_y} = \frac{7}{1.5} = \frac{a_z}{b_z} = \frac{0}{3.5}\)
Так как все отношения равны, векторы коллинеарны.
в) \(\vec{a} = (-2, 5, -1), \vec{b} = (6, -5.9)\)
Вычисляем отношения координат:
\(\frac{a_x}{b_x} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{5}{-5.9} = -\frac{5}{59} = \frac{a_z}{b_z} = \frac{-1}{0}\)
Так как все отношения равны, векторы коллинеарны.
г) \(\vec{a} = (0.7, -1.2, -5.2), \vec{b} = (-2.8, 4.8, -20.8)\)
Вычисляем отношения координат:
\(\frac{a_x}{b_x} = \frac{0.7}{-2.8} \neq \frac{a_y}{b_y} = \frac{-1.2}{4.8} \neq \frac{a_z}{b_z} = \frac{-5.2}{-20.8}\)
Так как хотя бы одно из отношений не равно другим, векторы не коллинеарны.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.