Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 727 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что при движении: а) прямая отображается на прямую; б) плоскость отображается на плоскость.
a) Доказательство: точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой. Согласно условию, \(AB=A_1B_1\), \(BC=B_1C_1\) и \(AC=A_1C_1\). Тогда \(A_1C_1=A_1B_1+B_1C_1\), что верно, если точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой. В противном случае неравенство треугольника \(A_1C_1 < A_1B_1+B_1C_1\) будет нарушено. б) Проведем из точки O отрезки, пересекающие прямую в точках A и B. При движении O переходит в O1, A в A1, B в B1, соответственно \(OA=O_1A_1\), \(OB=O_1B_1\). Согласно аксиоме, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.
Рассмотрим задачу подробно:
a) Возьмем на прямой точки A, B, C. При движении они перейдут в точки A1, B1, C1 соответственно, причем \(AB=A_1B_1\), \(BC=B_1C_1\) и \(AC=A_1C_1\). Необходимо доказать, что точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой.
Для этого рассмотрим расстояние между точками A1 и C1:
\(A_1C_1 = A_1B_1 + B_1C_1\)
Если точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой, то это равенство будет выполняться. Если же они не лежат на одной прямой, то по неравенству треугольника будет \(A_1C_1 < A_1B_1 + B_1C_1\). Таким образом, доказательство того, что точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой, сводится к проверке выполнения равенства \(A_1C_1 = A_1B_1 + B_1C_1\). б) Проведем на плоскости прямую и возьмем точку O, не принадлежащую этой прямой. Проведем из точки O отрезки, пересекающие прямую в точках A и B. При движении точка O перейдет в точку O1, A в A1, B в B1. Тогда \(OA=O_1A_1\) и \(OB=O_1B_1\). Согласно аксиоме, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна. Таким образом, движение переводит прямую в прямую.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.