Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 725 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что при параллельном переносе на вектор \(\vec{p}\), где \(\vec{p} \neq \vec{0}\): а) прямая, не параллельная вектору \(\vec{p}\) и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, параллельная вектору \(\vec{p}\) или содержащая этот вектор, отображается на себя
Решение:
а) Транспонируем вектор \(p\) в начало вектора \(AB\). Очевидно, что его конец будет совпадать с началом вектора \(A_1B_1\). Переместим траспонированный вектор на вектор \(AB\). Его начало и конец, соответственно, будут совпадать с концами векторов \(AB\) и \(A_1B_1\). \(AA_1B_1B\) — четырёхугольник. И так как при переносе размер вектора не меняется, \(AB = A_1B_1\), а \(AA_1 = BB_1\). Таким образом, данный четырёхугольник — параллелограмм, соответственно, \(AB\parallel A_1B_1\) и \(AA_1\parallel BB_1\).
б) Пусть прямая параллельна вектору. Выберем точку \(A\) на прямой, тогда точка \(A\) перейдёт в точку \(A_1\), так, что \(AA_1 = p\). Следовательно, они лежат в одной плоскости. В плоскости через точку \(A\) можно провести только одну прямую \(AA_1\), параллельную \(p\), тогда \(A_1\) принадлежит той же плоскости. Для любой другой точки \(B\) повторим доказательство. Тогда каждая точка прямой переходит в точку прямой, то есть прямая отображается сама в себя.
Рассмотрим данную задачу пошагово:
а) Транспонируем вектор \(p\) в начало вектора \(AB\). Это означает, что мы переносим вектор \(p\) так, что его начало совпадает с началом вектора \(AB\). Очевидно, что в этом случае конец вектора \(p\) будет совпадать с началом вектора \(A_1B_1\).
Далее, переместим траспонированный вектор на вектор \(AB\). При этом начало и конец траспонированного вектора будут совпадать с концами векторов \(AB\) и \(A_1B_1\) соответственно. Таким образом, мы получаем четырёхугольник \(AA_1B_1B\).
Так как при переносе размер вектора не меняется, то \(AB = A_1B_1\), а \(AA_1 = BB_1\). Следовательно, данный четырёхугольник является параллелограммом, и выполняется \(AB\parallel A_1B_1\) и \(AA_1\parallel BB_1\).
б) Пусть прямая параллельна вектору. Выберем точку \(A\) на прямой, тогда точка \(A\) перейдёт в точку \(A_1\), так, что \(AA_1 = p\). Это означает, что точки \(A\) и \(A_1\) лежат в одной плоскости.
В плоскости, проходящей через точку \(A\), можно провести только одну прямую \(AA_1\), параллельную вектору \(p\). Следовательно, точка \(A_1\) также принадлежит этой плоскости.
Для любой другой точки \(B\) на прямой можно повторить аналогичное доказательство. Таким образом, каждая точка прямой переходит в точку той же прямой, то есть прямая отображается сама в себя.
Что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.