ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 725 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что при параллельном переносе на вектор \(\vec{p}\), где \(\vec{p} \neq \vec{0}\): а) прямая, не параллельная вектору \(\vec{p}\) и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, параллельная вектору \(\vec{p}\) или содержащая этот вектор, отображается на себя

Решение:
а) Транспонируем вектор \(p\) в начало вектора \(AB\). Очевидно, что его конец будет совпадать с началом вектора \(A_1B_1\). Переместим траспонированный вектор на вектор \(AB\). Его начало и конец, соответственно, будут совпадать с концами векторов \(AB\) и \(A_1B_1\). \(AA_1B_1B\) — четырёхугольник. И так как при переносе размер вектора не меняется, \(AB = A_1B_1\), а \(AA_1 = BB_1\). Таким образом, данный четырёхугольник — параллелограмм, соответственно, \(AB\parallel A_1B_1\) и \(AA_1\parallel BB_1\).

б) Пусть прямая параллельна вектору. Выберем точку \(A\) на прямой, тогда точка \(A\) перейдёт в точку \(A_1\), так, что \(AA_1 = p\). Следовательно, они лежат в одной плоскости. В плоскости через точку \(A\) можно провести только одну прямую \(AA_1\), параллельную \(p\), тогда \(A_1\) принадлежит той же плоскости. Для любой другой точки \(B\) повторим доказательство. Тогда каждая точка прямой переходит в точку прямой, то есть прямая отображается сама в себя.

Рассмотрим данную задачу пошагово:

а) Транспонируем вектор \(p\) в начало вектора \(AB\). Это означает, что мы переносим вектор \(p\) так, что его начало совпадает с началом вектора \(AB\). Очевидно, что в этом случае конец вектора \(p\) будет совпадать с началом вектора \(A_1B_1\).

Далее, переместим траспонированный вектор на вектор \(AB\). При этом начало и конец траспонированного вектора будут совпадать с концами векторов \(AB\) и \(A_1B_1\) соответственно. Таким образом, мы получаем четырёхугольник \(AA_1B_1B\).

Так как при переносе размер вектора не меняется, то \(AB = A_1B_1\), а \(AA_1 = BB_1\). Следовательно, данный четырёхугольник является параллелограммом, и выполняется \(AB\parallel A_1B_1\) и \(AA_1\parallel BB_1\).

б) Пусть прямая параллельна вектору. Выберем точку \(A\) на прямой, тогда точка \(A\) перейдёт в точку \(A_1\), так, что \(AA_1 = p\). Это означает, что точки \(A\) и \(A_1\) лежат в одной плоскости.

В плоскости, проходящей через точку \(A\), можно провести только одну прямую \(AA_1\), параллельную вектору \(p\). Следовательно, точка \(A_1\) также принадлежит этой плоскости.

Для любой другой точки \(B\) на прямой можно повторить аналогичное доказательство. Таким образом, каждая точка прямой переходит в точку той же прямой, то есть прямая отображается сама в себя.

Что и требовалось доказать.