Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 724 Атанасян — Подробные Ответы
При зеркальной симметрии относительно плоскости \(\beta\) плоскость \(\beta\) отображается на плоскость \(\beta_1\). Докажите, что если: а) \(\beta \perp \alpha\), то \(\beta_1 \perp \alpha\); б) \(\beta \parallel \alpha\), то \(\beta_1\) совпадает с \(\beta\).
a) Выберем три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Проведем AA2, BB2, CC2 перпендикулярно плоскости. Продолжим эти отрезки за точки A1, B1, C1, так что A2A1=AA2, B2B1=BB2, C2C1=CC2. AA1B1B — прямоугольник, так как AA1=BB1 и AA||BB1. Таким образом, A1B1||AB. BB1C1C — прямоугольник, т.к. BB1=CC1 и BB||BC. Тогда B1C1||BC. Плоскость β проходит через точки A1, B1, C1 и она единственная. Если две пересекающиеся прямые (BA и BC) одной плоскости параллельны двум прямым (B1A1 и B1C1) другой плоскости, то эти плоскости параллельны: β||γ.
б) Пусть α перпендикулярна β. Возьмём произвольную точку A на плоскости α и построим AO перпендикулярно плоскости α. Продолжим отрезок за точку O на расстояние OA=AO. Две плоскости взаимно перпендикулярны и к одной из них проведен перпендикуляр, имеющий общую точку с другой плоскостью, тогда этот перпендикуляр весь лежит в этой плоскости, т.е. AO принадлежит β, следовательно и AA1 принадлежит β. Таким образом, каждая точка плоскости β отображается в точку, ей симметричную, которая тоже принадлежит плоскости β. Тогда плоскость β либо отображается сама на себя, либо совпадает с α.
a) Выберем три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Проведем отрезки AA2, BB2, CC2, перпендикулярные плоскости, на которой лежат точки A, B, C. Продолжим эти отрезки за точки A1, B1, C1 так, что A2A1=AA2, B2B1=BB2, C2C1=CC2. Таким образом, мы получили параллелограммы AA1B1B и BB1C1C. Так как AA1=BB1 и AA||BB1, то AA1B1B — прямоугольник. Аналогично, BB1C1C — прямоугольник, так как BB1=CC1 и BB||BC. Следовательно, B1C1||BC.
Плоскость β проходит через точки A1, B1, C1 и является единственной такой плоскостью. Если две пересекающиеся прямые (BA и BC) одной плоскости параллельны двум прямым (B1A1 и B1C1) другой плоскости, то эти плоскости параллельны: \(β||γ\).
б) Пусть плоскость α перпендикулярна плоскости β. Возьмём произвольную точку A на плоскости α и построим отрезок AO, перпендикулярный плоскости α. Продолжим отрезок за точку O на расстояние OA=AO. Две взаимно перпендикулярные плоскости, к одной из которых проведен перпендикуляр, имеющий общую точку с другой плоскостью, имеют то свойство, что этот перпендикуляр весь лежит в этой плоскости. Следовательно, AO принадлежит плоскости β, а значит и AA1 принадлежит β.
Таким образом, каждая точка плоскости β отображается в точку, ей симметричную, которая также принадлежит плоскости β. Отсюда следует, что плоскость β либо отображается сама на себя, либо совпадает с плоскостью α.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.