Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 721 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что при центральной симметрии: а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
1. Выберем на плоскости точку С, проведем отрезок СО и продолжим его за точку О на расстояние \(OC_1=OC\).
2. Выберем на плоскости точку А, проведем отрезок АО и продолжим его за точку О на расстояние \(OA_1=OA\).
3. Выберем на плоскости точку В, проведем отрезок ВО и продолжим его за точку О на расстояние \(OB_1=OB\).
4. Через точки \(A_1, B_1, C_1\) проведем плоскость.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники \(OAC\) и \(O_1A_1C_1\). Они равны, так как \(OA_1=OA\), \(OC_1=OC\) и углы \(AOC\) и \(A_1OC_1\) равны.
По признаку параллельности прямых \(A_1C\) параллельна \(AC\).
Аналогично доказывается, что \(A_1B_1=AB\).
По признаку параллельности плоскостей, плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны.
Если точка \(O\) принадлежит некоторой плоскости, то для любой точки \(A\) с этой плоскости прямая \(OA\) также будет принадлежать данной плоскости. Соответственно, любая точка этой прямой, в том числе и симметричная точка \(A_1\), принадлежит этой плоскости.
Аналогичные рассуждения проводим для пар точек \(B+B_1\) и \(C+C_1\). Через три точки \(A_1, B_1, C_1\) можно провести единственную плоскость, следовательно, она совпадает с исходной.
Построение:
1. Выберем на плоскости точку С. Проведем отрезок СО и продолжим его за точку О на расстояние \(OC_1=OC\).
2. Выберем на плоскости точку А. Проведем отрезок АО и продолжим его за точку О на расстояние \(OA_1=OA\).
3. Выберем на плоскости точку В. Проведем отрезок ВО и продолжим его за точку О на расстояние \(OB_1=OB\).
4. Через точки \(A_1, B_1, C_1\) проведем плоскость. Такая плоскость единственна.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники \(OAC\) и \(O_1A_1C_1\). Очевидно, что они равны, так как \(OA_1=OA\), \(OC_1=OC\) и углы \(AOC\) и \(A_1OC_1\) равны.
По признаку параллельности прямых, прямая \(A_1C\) параллельна прямой \(AC\). Аналогично доказывается, что \(A_1B_1=AB\).
По признаку параллельности плоскостей, плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны, что и требовалось доказать.
Дополнительное обоснование:
Если точка \(O\) принадлежит некоторой плоскости, то для любой точки \(A\) этой плоскости прямая \(OA\) также будет принадлежать данной плоскости. Соответственно, любая точка этой прямой, в том числе и симметричная точка \(A_1\), принадлежит этой плоскости.
Аналогичные рассуждения проводим для пар точек \(B+B_1\) и \(C+C_1\). Через три точки \(A_1, B_1, C_1\) можно провести единственную плоскость, следовательно, она совпадает с исходной.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.