Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 719 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите координаты точек, в которые переходят точки А (0; 1; 2), В (3; — 1; 4), С (1; 0; — 2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно координатных осей; в) зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей
В случае центральной симметрии относительно начала координат, все координаты меняют знак на противоположный:
\(A(0,1,2) \rightarrow A_1(0, -1, -2)\)
\(B(3,-1,4) \rightarrow B_1(-3,1,-4)\)
\(C(1,0, -2) \rightarrow C_1(-1,0,2)\)
В случае осевой симметрии относительно координатной оси, все координаты, кроме той, которая соответствует данной оси, меняют знак на противоположный:
Для оси Ox:
\(A(0,1,2) \rightarrow A_1(0, -1, -2)\)
\(B(3,-1,4) \rightarrow B_1(3,1,-4)\)
\(C(1,0, -2) \rightarrow C_1(1,0,2)\)
Для оси Oy:
\(A(0,1,2) \rightarrow A_1(0,1, -2)\)
\(B(3,-1,4) \rightarrow B_1(-3,-1,-4)\)
\(C(1,0, -2) \rightarrow C_1(-1,0,2)\)
Для оси Oz:
\(A(0,1,2) \rightarrow A_1(0, -1,2)\)
\(B(3,-1,4) \rightarrow B_1(-3,1,4)\)
\(C(1,0, -2) \rightarrow C_1(-1,0,-2)\)
В случае зеркальной симметрии относительно координатной плоскости, меняется только та координата, которая не относится к данной плоскости:
Для плоскости xOy:
\(A(0,1,2) \rightarrow A_1(0,1, -2)\)
\(B(3,-1,4) \rightarrow B_1(3,-1,-4)\)
\(C(1,0, -2) \rightarrow C_1(1,0,2)\)
Для плоскости xOz:
\(A(0,1,2) \rightarrow A_1(0, -1,2)\)
\(B(3,-1,4) \rightarrow B_1(3,1,4)\)
\(C(1,0, -2) \rightarrow C_1(1,0,-2)\)
Для плоскости yOz:
\(A(0,1,2) \rightarrow A_1(0,1,2)\)
\(B(3,-1,4) \rightarrow B_1(-3,-1,4)\)
\(C(1,0, -2) \rightarrow C_1(-1,0,-2)\)
Рассмотрим преобразования координат точек \(A(0,1,2)\), \(B(3,-1,4)\) и \(C(1,0,-2)\) при различных видах симметрии.
1. Центральная симметрия относительно начала координат:
В случае центральной симметрии относительно начала координат, все координаты меняют знак на противоположный. Таким образом, новые координаты точек будут:
\(A_1(0, -1, -2)\)
\(B_1(-3,1,-4)\)
\(C_1(-1,0,2)\)
2. Осевая симметрия относительно координатных осей:
При осевой симметрии относительно координатных осей, все координаты, кроме той, которая соответствует данной оси, меняют знак на противоположный.
Для оси Ox:
\(A_1(0, -1, -2)\)
\(B_1(3,1,-4)\)
\(C_1(1,0,2)\)
Для оси Oy:
\(A_1(0,1, -2)\)
\(B_1(-3,-1,-4)\)
\(C_1(-1,0,2)\)
Для оси Oz:
\(A_1(0, -1,2)\)
\(B_1(-3,1,4)\)
\(C_1(-1,0,-2)\)
3. Зеркальная симметрия относительно координатных плоскостей:
При зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей, меняется только та координата, которая не относится к данной плоскости.
Для плоскости xOy:
\(A_1(0,1, -2)\)
\(B_1(3,-1,-4)\)
\(C_1(1,0,2)\)
Для плоскости xOz:
\(A_1(0, -1,2)\)
\(B_1(3,1,4)\)
\(C_1(1,0,-2)\)
Для плоскости yOz:
\(A_1(0,1,2)\)
\(B_1(-3,-1,4)\)
\(C_1(-1,0,-2)\)
Таким образом, мы получили новые координаты точек при различных видах симметрии, соответствующие примеру в условии задачи.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.