Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 718 Атанасян — Подробные Ответы
Проекция точки К на плоскость квадрата ABCD совпадает с центром этого квадрата. Докажите, что угол между прямыми АК и BD равен 90°.
Решение:
Введем ПСК с центром в точке А(0; 0; 0). Координаты вершин квадрата и куба известны. Найдем координату \(z\) точки К, неизвестную из условия.
Вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{AK}\) и \(\vec{BD}\):
\(\vec{AK} \cdot \vec{BD} = \left[\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, b\right] \cdot \left[-a, a, 0\right] = -\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + 0 = 0\)
Таким образом, угол между векторами \(\vec{AK}\) и \(\vec{BD}\) равен 90°, что и требовалось доказать.
Решение:
Дано: ABCD — квадрат со стороной \(a\), точка К проецируется в центр квадрата. Необходимо доказать, что угол между векторами \(\vec{AK}\) и \(\vec{BD}\) равен 90°.
Для решения данной задачи будем использовать прямоугольную систему координат (ПСК) с центром в точке \(A(0; 0; 0)\). Это позволит нам определить координаты вершин квадрата и куба.
Координаты вершин квадрата:
\(A(0; 0; 0)\), \(B(a; 0; 0)\), \(C(a; a; 0)\), \(D(0; a; 0)\)
Координаты вершин куба:
\(A(0; 0; 0)\), \(B(a; 0; 0)\), \(C(a; a; 0)\), \(D(0; a; 0)\)
\(A_1(0; 0; a)\), \(B_1(a; 0; a)\), \(C_1(a; a; a)\), \(D_1(0; a; a)\)
Для нахождения координаты \(z\) точки \(K\) воспользуемся условием задачи, согласно которому точка \(K\) проецируется в центр квадрата. Обозначим эту координату как \(b\).
Теперь вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{AK}\) и \(\vec{BD}\):
\(\vec{AK} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, b\right)\)
\(\vec{BD} = (-a, a, 0)\)
\(\vec{AK} \cdot \vec{BD} = \left(\frac{a}{2}\right)(-a) + \left(\frac{a}{2}\right)(a) + b(0) = -\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + 0 = 0\)
Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{AK}\) и \(\vec{BD}\) равно 0, что означает, что угол между ними равен 90°, что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.