ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 717 Атанасян — Подробные Ответы

Угол между диагональю АС1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA B1C1D1 и каждым из рёбер AB и AD равен 60°. Найдите CAC1.

Решение:
Введем ПСК (Прямоугольную систему координат). Центр в т. А(0; 0; 0). Пусть параллелепипед имеет стороны x, y, z. Из условия задачи обозначим координаты вершин. Координаты точки М найдем по соответствующей формуле:
\(x = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{2}\)
\(y = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{2}\)
\(\cos (AC_1, AB) = \frac{x \cdot x + y \cdot 0 + z \cdot 0}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \sqrt{x^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\)
\(\cos (AC_1, AD) = \frac{x \cdot 0 + y \cdot y + z \cdot 0}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \sqrt{0^2 + y^2 + 0^2}} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\)
\(\cos (AC_1, AC) = \frac{x \cdot x + y \cdot y + z \cdot 0}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \sqrt{x^2 + y^2 + 0^2}} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\)
\(\cos (AC_1, AC) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\angle CAC_1 = 45^\circ\)
Ответ: \(\angle CAC_1 = 45^\circ\)

Решение:

Дано: Прямоугольный параллелепипед ΔBAC₁ = 60°, ΔDAC₁ = 60°. Требуется найти угол LCAC₁.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат (ПСК) с центром в точке A(0, 0, 0). Пусть стороны параллелепипеда имеют длины x, y, z.

Координаты вершин параллелепипеда:
A(0, 0, 0), B(x, 0, 0), C(x, y, 0), D(0, y, 0), C₁(x, y, z), D₁(0, y, z), A₁(0, 0, z), B₁(x, 0, z).

Для нахождения угла LCAC₁ воспользуемся формулой для вычисления косинуса угла между двумя векторами:

\(\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\)

Вектор \(\vec{AC_1}\) имеет координаты (x, y, z), а вектор \(\vec{AC}\) имеет координаты (x, y, 0). Тогда:

\(\cos (AC_1, AC) = \frac{x^2 + y^2}{
\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \sqrt{x^2 + y^2}}\)

Упростив выражение, получим:

\(\cos (AC_1, AC) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Следовательно, угол LCAC₁ равен 45°.

Ответ: Угол LCAC₁ равен 45°.