Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 717 Атанасян — Подробные Ответы
Угол между диагональю АС1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA B1C1D1 и каждым из рёбер AB и AD равен 60°. Найдите CAC1.
Решение:
Введем ПСК (Прямоугольную систему координат). Центр в т. А(0; 0; 0). Пусть параллелепипед имеет стороны x, y, z. Из условия задачи обозначим координаты вершин. Координаты точки М найдем по соответствующей формуле:
\(x = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{2}\)
\(y = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{2}\)
\(\cos (AC_1, AB) = \frac{x \cdot x + y \cdot 0 + z \cdot 0}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \sqrt{x^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\)
\(\cos (AC_1, AD) = \frac{x \cdot 0 + y \cdot y + z \cdot 0}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \sqrt{0^2 + y^2 + 0^2}} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\)
\(\cos (AC_1, AC) = \frac{x \cdot x + y \cdot y + z \cdot 0}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \sqrt{x^2 + y^2 + 0^2}} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\)
\(\cos (AC_1, AC) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\angle CAC_1 = 45^\circ\)
Ответ: \(\angle CAC_1 = 45^\circ\)
Решение:
Дано: Прямоугольный параллелепипед ΔBAC₁ = 60°, ΔDAC₁ = 60°. Требуется найти угол LCAC₁.
Для решения задачи введем прямоугольную систему координат (ПСК) с центром в точке A(0, 0, 0). Пусть стороны параллелепипеда имеют длины x, y, z.
Координаты вершин параллелепипеда:
A(0, 0, 0), B(x, 0, 0), C(x, y, 0), D(0, y, 0), C₁(x, y, z), D₁(0, y, z), A₁(0, 0, z), B₁(x, 0, z).
Для нахождения угла LCAC₁ воспользуемся формулой для вычисления косинуса угла между двумя векторами:
\(\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\)
Вектор \(\vec{AC_1}\) имеет координаты (x, y, z), а вектор \(\vec{AC}\) имеет координаты (x, y, 0). Тогда:
\(\cos (AC_1, AC) = \frac{x^2 + y^2}{
\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \sqrt{x^2 + y^2}}\)
Упростив выражение, получим:
\(\cos (AC_1, AC) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
Следовательно, угол LCAC₁ равен 45°.
Ответ: Угол LCAC₁ равен 45°.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.