Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 716 Атанасян — Подробные Ответы
В тетраэдре DABC DA = 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см, ∠ВАС = 90°, ∠DAB = 60°, ∠DAC = 45°. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника DBC.
Дано: точки C(0,3,0), B(4,0,0), N(2,3/2,0), вектор \(D(5 \cos 60°, 5 \cos 45°, 5 \sin \phi)\), \(AD = 25\).
Найдем длину вектора \(AD\): \(AD^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 + (5 \sin \phi)^2 \Rightarrow AD = \sqrt{25} = 5\).
Найдем угол \(\phi\): \(1 — \frac{1}{4} — \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \phi = 30°\).
Найдем координаты вектора \(AN\): \(AN = \left(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2}, 5\right)\), \(DAN = 30°\), \(AN = (2, \frac{2}{3}, 0)\).
Найдем вектор \(AM\): \(AM = AN + NM = AN + \frac{1}{3}ND = AN + \frac{1}{3}(AD — AN)\), \(AM = \left(\frac{13}{6}, \frac{5\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3}, \frac{5}{6}\right)\).
Найдем длину вектора \(AM\): \(|AM| = \sqrt{\left(\frac{13}{6}\right)^2 + \left(\frac{5\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{6}\right)^2} = \frac{1}{3}\sqrt{70 + 15\sqrt{2}}\).
Дано: в прямоугольной системе координат с началом в точке A заданы точки C(0,3,0), B(4,0,0), N(2,3/2,0) и вектор \(D(5 \cos 60°, 5 \cos 45°, 5 \sin \phi)\), где \(AD = 25\).
Необходимо найти длину вектора \(AM\), где \(M\) — точка пересечения векторов \(AD\) и \(BC\).
Решение:
1. Найдем длину вектора \(AD\):
\(AD^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 + (5 \sin \phi)^2\)
Поскольку \(AD = 25\), то \(AD = \sqrt{25} = 5\).
2. Найдем угол \(\phi\):
\(1 — \frac{1}{4} — \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)
Следовательно, \(\phi = 30°\).
3. Найдем координаты вектора \(AN\):
\(AN = \left(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2}, 5\right)\)
\(DAN = 30°\)
\(AN = (2, \frac{2}{3}, 0)\)
4. Найдем вектор \(AM\):
\(AM = AN + NM = AN + \frac{1}{3}ND = AN + \frac{1}{3}(AD — AN)\)
\(AM = \left(\frac{13}{6}, \frac{5\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3}, \frac{5}{6}\right)\)
5. Найдем длину вектора \(AM\):
\(|AM| = \sqrt{\left(\frac{13}{6}\right)^2 + \left(\frac{5\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{6}\right)^2} = \frac{1}{3}\sqrt{70 + 15\sqrt{2}}\)
Ответ: Длина вектора \(AM\) равна \(\frac{1}{3}\sqrt{70 + 15\sqrt{2}}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.