Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 713 Атанасян — Подробные Ответы
Дан куб \(MNPQM_1N_1P_1Q_1\). Докажите, что прямая \(PM_1\) перпендикулярна к плоскостям \(MN_1Q_1\) и \(QNP_1\)
Мы доказали, что прямая \(PM_1\) перпендикулярна к плоскостям \(MN_iQ_1\) и \(QNP_1\) следующим образом:
1) Вычислили векторное произведение \(PM_1 \cdot MN_1 = 0\), что означает, что вектор \(PM_1\) перпендикулярен вектору \(MN_1\), а значит, прямая \(PM_1\) перпендикулярна плоскости \(MN_iQ_1\).
2) Вычислили векторное произведение \(PM_1 \cdot QNP_1 = 0\), что означает, что вектор \(PM_1\) перпендикулярен вектору \(QNP_1\), а значит, прямая \(PM_1\) перпендикулярна плоскости \(QNP_1\).
Решение:
Дан куб \(MNPQM_1N_1P_1Q_1\). Требуется доказать, что прямая \(PM_1\) перпендикулярна к плоскостям \(MN_1Q_1\) и \(QNP_1\).
Для доказательства перпендикулярности прямой \(PM_1\) к плоскостям \(MN_1Q_1\) и \(QNP_1\) необходимо показать, что векторные произведения \(PM_1 \cdot MN_1 = 0\) и \(PM_1 \cdot QNP_1 = 0\).
Вычислим векторные произведения:
\(PM_1 \cdot MN_1 = \{-a, -a, a\} \cdot \{a, 0, a\} = -a^2 — 0 + a^2 = 0\)
Это означает, что вектор \(PM_1\) перпендикулярен вектору \(MN_1\), а значит, прямая \(PM_1\) перпендикулярна плоскости \(MN_1Q_1\).
Аналогично, вычислим второе векторное произведение:
\(PM_1 \cdot QNP_1 = \{-a, -a, a\} \cdot \{0, a, a\} = 0 — a^2 + a^2 = 0\)
Это означает, что вектор \(PM_1\) перпендикулярен вектору \(QNP_1\), а значит, прямая \(PM_1\) перпендикулярна плоскости \(QNP_1\).
Таким образом, мы доказали, что прямая \(PM_1\) перпендикулярна к обеим плоскостям \(MN_1Q_1\) и \(QNP_1\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.