Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 712 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен \(90^\circ\).
Решение:
Введем ПСК (Прямоугольную систему координат) с центром в точке A(0, 0, 0). Оси координат направлены вдоль ребер куба. Координаты точек изображены на рисунке.
Вектор \(\vec{AB_1} = (a, 0, a)\) и вектор \(\vec{D_1B} = (a, -a, -a)\). Вычислим их скалярное произведение:
\(\vec{AB_1} \cdot \vec{D_1B} = a^2 — 0 — a^2 = 0\)
Следовательно, угол между векторами \(\vec{AB_1}\) и \(\vec{D_1B}\) равен \(90^\circ\).
Аналогично, вектор \(\vec{AC} = (a, a, 0)\) и вектор \(\vec{D_1B} = (a, -a, -a)\). Их скалярное произведение также равно 0, что означает угол \(90^\circ\) между ними.
Ответ: Угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен \(90^\circ\).
Дано: Куб ABCD A1B1C1D1, где AB = a.
Доказать, что углы между AB1 и D1B, CB1 и D1B, AC и D1B равны \(90^\circ\).
Решение:
Введем прямоугольную систему координат (ПСК) с центром в точке A(0, 0, 0). Оси координат направлены вдоль ребер куба. Координаты точек куба на рисунке:
A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0),
A1(0, 0, a), B1(a, 0, a), C1(a, a, a), D1(0, a, a).
Рассмотрим вектор \(\vec{AB_1} = (a, 0, a)\) и вектор \(\vec{D_1B} = (a, -a, -a)\). Вычислим их скалярное произведение:
\(\vec{AB_1} \cdot \vec{D_1B} = a^2 — 0 — a^2 = 0\)
Так как скалярное произведение равно 0, то угол между векторами \(\vec{AB_1}\) и \(\vec{D_1B}\) равен \(90^\circ\).
Аналогично, рассмотрим вектор \(\vec{AC} = (a, a, 0)\) и вектор \(\vec{D_1B} = (a, -a, -a)\). Их скалярное произведение также равно 0, что означает угол \(90^\circ\) между ними.
Наконец, вектор \(\vec{CB_1} = (0, a, a)\) и вектор \(\vec{D_1B} = (a, -a, -a)\). Их скалярное произведение равно 0, следовательно, угол между ними равен \(90^\circ\).
Таким образом, доказано, что углы между AB1 и D1B, CB1 и D1B, AC и D1B равны \(90^\circ\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.