ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 712 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен \(90^\circ\).

Решение:
Введем ПСК (Прямоугольную систему координат) с центром в точке A(0, 0, 0). Оси координат направлены вдоль ребер куба. Координаты точек изображены на рисунке.

Вектор \(\vec{AB_1} = (a, 0, a)\) и вектор \(\vec{D_1B} = (a, -a, -a)\). Вычислим их скалярное произведение:
\(\vec{AB_1} \cdot \vec{D_1B} = a^2 — 0 — a^2 = 0\)

Следовательно, угол между векторами \(\vec{AB_1}\) и \(\vec{D_1B}\) равен \(90^\circ\).

Аналогично, вектор \(\vec{AC} = (a, a, 0)\) и вектор \(\vec{D_1B} = (a, -a, -a)\). Их скалярное произведение также равно 0, что означает угол \(90^\circ\) между ними.

Ответ: Угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен \(90^\circ\).

Дано: Куб ABCD A1B1C1D1, где AB = a.

Доказать, что углы между AB1 и D1B, CB1 и D1B, AC и D1B равны \(90^\circ\).

Решение:

Введем прямоугольную систему координат (ПСК) с центром в точке A(0, 0, 0). Оси координат направлены вдоль ребер куба. Координаты точек куба на рисунке:
A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0),
A1(0, 0, a), B1(a, 0, a), C1(a, a, a), D1(0, a, a).

Рассмотрим вектор \(\vec{AB_1} = (a, 0, a)\) и вектор \(\vec{D_1B} = (a, -a, -a)\). Вычислим их скалярное произведение:
\(\vec{AB_1} \cdot \vec{D_1B} = a^2 — 0 — a^2 = 0\)

Так как скалярное произведение равно 0, то угол между векторами \(\vec{AB_1}\) и \(\vec{D_1B}\) равен \(90^\circ\).

Аналогично, рассмотрим вектор \(\vec{AC} = (a, a, 0)\) и вектор \(\vec{D_1B} = (a, -a, -a)\). Их скалярное произведение также равно 0, что означает угол \(90^\circ\) между ними.

Наконец, вектор \(\vec{CB_1} = (0, a, a)\) и вектор \(\vec{D_1B} = (a, -a, -a)\). Их скалярное произведение равно 0, следовательно, угол между ними равен \(90^\circ\).

Таким образом, доказано, что углы между AB1 и D1B, CB1 и D1B, AC и D1B равны \(90^\circ\).