Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 711 Атанасян — Подробные Ответы
В тетраэдре \(ABCD\) \(\angle ABD=\angle ABC=\angle DBC=90^\circ\), \(AB=BD=2\), \(BC=1\). Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер \(AD\) и \(BC\), и плоскостью грани:
а) \(ABD\);
б) \(DBC\);
в) \(ABC\)
Решение:
а) Синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер \(AD\) и \(BC\), и плоскостью грани \(ABD\) равен:
\(\sin(\angle EF, ABD) = \frac{2}{3}\)
б) Синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер \(AD\) и \(BC\), и плоскостью грани \(DBC\) равен:
\(\sin(\angle EF, DBC) = \frac{2}{3}\)
в) Синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер \(AD\) и \(BC\), и плоскостью грани \(ABC\) равен:
\(\sin(\angle EF, ABC) = \frac{1}{3}\)
Решение:
Дано: тетраэдр \(ABCD\) с \(\angle ABD=\angle ABC=\angle DBC=90^\circ\), \(AB=BD=2\), \(BC=1\). Требуется вычислить синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер \(AD\) и \(BC\), и плоскостями граней \(ABD\), \(DBC\) и \(ABC\).
а) Синус угла между прямой и плоскостью грани \(ABD\):
Пусть середина ребра \(AD\) имеет координаты \((1, 1, -1)\), а середина ребра \(BC\) имеет координаты \((0, 1, 0)\). Тогда вектор прямой \(\vec{EF}\) равен \((1, 0, -1)\).
Нормаль к плоскости грани \(ABD\) имеет координаты \((0, 1, 1)\).
Используя формулу для косинуса угла между двумя векторами:
\(\cos(\angle EF, ABD) = \frac{\vec{EF} \cdot \vec{n}}{\|\vec{EF}\| \|\vec{n}\|}\)
где \(\vec{n}\) — нормаль к плоскости, получаем:
\(\cos(\angle EF, ABD) = \frac{0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 1}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}} = -\frac{1}{3}\)
Следовательно, \(\sin(\angle EF, ABD) = \sqrt{1 — \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2}{3}\).
б) Синус угла между прямой и плоскостью грани \(DBC\):
Нормаль к плоскости грани \(DBC\) имеет координаты \((1, -1, 0)\).
Используя ту же формулу, получаем:
\(\cos(\angle EF, DBC) = \frac{1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2}} = -\frac{1}{3}\)
Следовательно, \(\sin(\angle EF, DBC) = \sqrt{1 — \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2}{3}\).
в) Синус угла между прямой и плоскостью грани \(ABC\):
Нормаль к плоскости грани \(ABC\) имеет координаты \((1, 1, 0)\).
Используя ту же формулу, получаем:
\(\cos(\angle EF, ABC) = \frac{1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = -\frac{1}{3}\)
Следовательно, \(\sin(\angle EF, ABC) = \sqrt{1 — \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{1}{3}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.