ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 711 Атанасян — Подробные Ответы

В тетраэдре \(ABCD\) \(\angle ABD=\angle ABC=\angle DBC=90^\circ\), \(AB=BD=2\), \(BC=1\). Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер \(AD\) и \(BC\), и плоскостью грани:
а) \(ABD\);
б) \(DBC\);
в) \(ABC\)

Решение:

а) Синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер \(AD\) и \(BC\), и плоскостью грани \(ABD\) равен:
\(\sin(\angle EF, ABD) = \frac{2}{3}\)

б) Синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер \(AD\) и \(BC\), и плоскостью грани \(DBC\) равен:
\(\sin(\angle EF, DBC) = \frac{2}{3}\)

в) Синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер \(AD\) и \(BC\), и плоскостью грани \(ABC\) равен:
\(\sin(\angle EF, ABC) = \frac{1}{3}\)

Решение:

Дано: тетраэдр \(ABCD\) с \(\angle ABD=\angle ABC=\angle DBC=90^\circ\), \(AB=BD=2\), \(BC=1\). Требуется вычислить синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер \(AD\) и \(BC\), и плоскостями граней \(ABD\), \(DBC\) и \(ABC\).

а) Синус угла между прямой и плоскостью грани \(ABD\):
Пусть середина ребра \(AD\) имеет координаты \((1, 1, -1)\), а середина ребра \(BC\) имеет координаты \((0, 1, 0)\). Тогда вектор прямой \(\vec{EF}\) равен \((1, 0, -1)\).
Нормаль к плоскости грани \(ABD\) имеет координаты \((0, 1, 1)\).
Используя формулу для косинуса угла между двумя векторами:
\(\cos(\angle EF, ABD) = \frac{\vec{EF} \cdot \vec{n}}{\|\vec{EF}\| \|\vec{n}\|}\)
где \(\vec{n}\) — нормаль к плоскости, получаем:
\(\cos(\angle EF, ABD) = \frac{0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 1}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}} = -\frac{1}{3}\)
Следовательно, \(\sin(\angle EF, ABD) = \sqrt{1 — \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2}{3}\).

б) Синус угла между прямой и плоскостью грани \(DBC\):
Нормаль к плоскости грани \(DBC\) имеет координаты \((1, -1, 0)\).
Используя ту же формулу, получаем:
\(\cos(\angle EF, DBC) = \frac{1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2}} = -\frac{1}{3}\)
Следовательно, \(\sin(\angle EF, DBC) = \sqrt{1 — \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2}{3}\).

в) Синус угла между прямой и плоскостью грани \(ABC\):
Нормаль к плоскости грани \(ABC\) имеет координаты \((1, 1, 0)\).
Используя ту же формулу, получаем:
\(\cos(\angle EF, ABC) = \frac{1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = -\frac{1}{3}\)
Следовательно, \(\sin(\angle EF, ABC) = \sqrt{1 — \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{1}{3}\).