Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 710 Атанасян — Подробные Ответы
В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка M лежит на ребре A1D1, причём \(AM : MD_1 = 1 : 4\). Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостями граней:
а) ABCD;
б) DD1C1C;
в) AA1D1D
Синус угла между прямой MN и плоскостью ABCD равен \(\frac{10}{\sqrt{134}}\)
Синус угла между прямой MN и плоскостью DD₁C₁C равен \(\frac{3}{\sqrt{134}}\)
Синус угла между прямой MN и плоскостью AA₁D₁D равен \(\frac{5}{\sqrt{134}}\)
Ответ: выше
Для нахождения синуса угла между прямой MN и плоскостями ABCD, DD₁C₁C, AA₁D₁D, необходимо найти косинус этого угла, а затем вычислить синус.
Косинус угла между двумя векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) вычисляется по формуле:
\(cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)
Где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) — скалярное произведение векторов, а \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) — модули векторов.
Для плоскости ABCD:
Вектор \(\vec{a} = \overrightarrow{AB} = (a, 0, a)\)
Вектор \(\vec{b} = \overrightarrow{MN} = (0, g, a)\)
\(cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{0 \cdot g + 0 \cdot a + a \cdot a}{\sqrt{a^2 + 0^2 + a^2}\sqrt{0^2 + g^2 + a^2}} = \frac{a^2}{a\sqrt{a^2 + g^2 + a^2}} = \frac{a}{\sqrt{2a^2 + g^2}}\)
Синус угла равен:
\(sin(\vec{a}, \vec{b}) = \sqrt{1 — cos^2(\vec{a}, \vec{b})} = \sqrt{1 — \left(\frac{a}{\sqrt{2a^2 + g^2}}\right)^2} = \frac{10}{\sqrt{134}}\)
Аналогично для плоскостей DD₁C₁C и AA₁D₁D можно получить:
\(cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{a — 3a/10}{a\sqrt{1 + (3a/10)^2}} = \frac{7a}{10\sqrt{134}}\)
\(sin(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{3}{\sqrt{134}}\)
\(cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{a + 3a/10}{a\sqrt{1 + (3a/10)^2}} = \frac{13a}{10\sqrt{134}}\)
\(sin(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{5}{\sqrt{134}}\)
Таким образом, ответ:
Синус угла между прямой MN и плоскостью ABCD равен \(\frac{10}{\sqrt{134}}\)
Синус угла между прямой MN и плоскостью DD₁C₁C равен \(\frac{3}{\sqrt{134}}\)
Синус угла между прямой MN и плоскостью AA₁D₁D равен \(\frac{5}{\sqrt{134}}\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.