ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 709 Атанасян — Подробные Ответы

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 \(AB = 1\), \(BC = 2\), \(BB_1 = 3\). Вычислите косинус угла между прямыми:
а) AC и D1B;
б) AB1 и BC1;
в) A1D и AC1

a) Косинус угла между прямыми AC и D₁B: \(cos(\vec{AC}, \vec{D₁B}) = \frac{-3}{\sqrt{70}}\)

б) Косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁: \(cos(\vec{AB₁}, \vec{BC₁}) = \frac{9}{\sqrt{130}}\)

в) Косинус угла между прямыми A₁D и AC₁: \(cos(\vec{A₁D}, \vec{AC₁}) = \frac{-5}{\sqrt{182}}\)

Для нахождения косинусов углов между заданными прямыми, воспользуемся формулой косинуса угла между двумя векторами:

\(cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)

где $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — векторы, задающие прямые.

a) Косинус угла между прямыми AC и D₁B:
Вектор $\vec{AC} = (1, 2, 0)$
Вектор $\vec{D₁B} = (1, -2, -3)$

\(cos(\vec{AC}, \vec{D₁B}) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{D₁B}}{|\vec{AC}||\vec{D₁B}|} = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot (-3)}{
\sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-3)^2}} = \frac{-3}{\sqrt{5} \sqrt{14}} = -\frac{3}{\sqrt{70}}\)

б) Косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁:
Вектор $\vec{AB₁} = (1, 0, 3)$
Вектор $\vec{BC₁} = (0, 2, 3)$

\(cos(\vec{AB₁}, \vec{BC₁}) = \frac{\vec{AB₁} \cdot \vec{BC₁}}{|\vec{AB₁}||\vec{BC₁}|} = \frac{1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{
\sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2} \sqrt{0^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{9}{\sqrt{10} \sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{130}}\)

в) Косинус угла между прямыми A₁D и AC₁:
Вектор $\vec{A₁D} = (0, 2, -3)$
Вектор $\vec{AC₁} = (1, 2, 3)$

\(cos(\vec{A₁D}, \vec{AC₁}) = \frac{\vec{A₁D} \cdot \vec{AC₁}}{|\vec{A₁D}||\vec{AC₁}|} = \frac{0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-3) \cdot 3}{
\sqrt{0^2 + 2^2 + (-3)^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{-5}{\sqrt{13} \sqrt{14}} = -\frac{5}{\sqrt{182}}\)

Ответ:
a) Косинус угла между прямыми AC и D₁B равен -3/√70
б) Косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁ равен 9/√130
в) Косинус угла между прямыми A₁D и AC₁ равен -5/√182