Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 709 Атанасян — Подробные Ответы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 \(AB = 1\), \(BC = 2\), \(BB_1 = 3\). Вычислите косинус угла между прямыми:
а) AC и D1B;
б) AB1 и BC1;
в) A1D и AC1
a) Косинус угла между прямыми AC и D₁B: \(cos(\vec{AC}, \vec{D₁B}) = \frac{-3}{\sqrt{70}}\)
б) Косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁: \(cos(\vec{AB₁}, \vec{BC₁}) = \frac{9}{\sqrt{130}}\)
в) Косинус угла между прямыми A₁D и AC₁: \(cos(\vec{A₁D}, \vec{AC₁}) = \frac{-5}{\sqrt{182}}\)
Для нахождения косинусов углов между заданными прямыми, воспользуемся формулой косинуса угла между двумя векторами:
\(cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)
где $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — векторы, задающие прямые.
a) Косинус угла между прямыми AC и D₁B:
Вектор $\vec{AC} = (1, 2, 0)$
Вектор $\vec{D₁B} = (1, -2, -3)$
\(cos(\vec{AC}, \vec{D₁B}) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{D₁B}}{|\vec{AC}||\vec{D₁B}|} = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot (-3)}{
\sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-3)^2}} = \frac{-3}{\sqrt{5} \sqrt{14}} = -\frac{3}{\sqrt{70}}\)
б) Косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁:
Вектор $\vec{AB₁} = (1, 0, 3)$
Вектор $\vec{BC₁} = (0, 2, 3)$
\(cos(\vec{AB₁}, \vec{BC₁}) = \frac{\vec{AB₁} \cdot \vec{BC₁}}{|\vec{AB₁}||\vec{BC₁}|} = \frac{1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{
\sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2} \sqrt{0^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{9}{\sqrt{10} \sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{130}}\)
в) Косинус угла между прямыми A₁D и AC₁:
Вектор $\vec{A₁D} = (0, 2, -3)$
Вектор $\vec{AC₁} = (1, 2, 3)$
\(cos(\vec{A₁D}, \vec{AC₁}) = \frac{\vec{A₁D} \cdot \vec{AC₁}}{|\vec{A₁D}||\vec{AC₁}|} = \frac{0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-3) \cdot 3}{
\sqrt{0^2 + 2^2 + (-3)^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{-5}{\sqrt{13} \sqrt{14}} = -\frac{5}{\sqrt{182}}\)
Ответ:
a) Косинус угла между прямыми AC и D₁B равен -3/√70
б) Косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁ равен 9/√130
в) Косинус угла между прямыми A₁D и AC₁ равен -5/√182
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.