Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 708 Атанасян — Подробные Ответы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 \(AB = BC = \frac{1}{2}AA_1\). Найдите угол между прямыми:
а) BD и CD1;
б) AC и AC1.
a) Угол между прямыми BD и CD1 равен \(\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\)
б) Угол между прямыми AC и AC1 равен \(\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
Дано: прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, где \(AB = BC = a\) и \(AA_1 = a\). Требуется найти углы между прямыми:
а) BD и CD1
б) AC и AC1
Решение:
а) Для нахождения угла между прямыми BD и CD1 используем формулу косинуса угла между двумя векторами:
\(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)
Координаты точек:
B(-a, 0, 0), D(-a, a, 0), C1(-a, a, 2a), CD1 = (-a, 0, 2a)
Вектор \(\vec{BD} = (-a, a, 0)\), вектор \(\vec{CD_1} = (-a, 0, 2a)\)
\(\cos(\vec{BD}, \vec{CD_1}) = \frac{\vec{BD} \cdot \vec{CD_1}}{|\vec{BD}||\vec{CD_1}|} = \frac{-a \cdot (-a) + a \cdot 0 + 0 \cdot 2a}{\sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} \sqrt{a^2 + 0^2 + (2a)^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{2a^2} \sqrt{5a^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}\)
Следовательно, угол между прямыми BD и CD1 равен \(\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\).
б) Для нахождения угла между прямыми AC и AC1 используем ту же формулу косинуса угла между двумя векторами:
Координаты точек:
A(0, 0, 0), C(a, a, 0), A1(0, 0, a), C1(a, a, 2a)
Вектор \(\vec{AC} = (a, a, 0)\), вектор \(\vec{AC_1} = (a, a, 2a)\)
\(\cos(\vec{AC}, \vec{AC_1}) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AC_1}}{|\vec{AC}||\vec{AC_1}|} = \frac{a \cdot a + a \cdot a + 0 \cdot 2a}{\sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} \sqrt{a^2 + a^2 + (2a)^2}} = \frac{2a^2}{\sqrt{2a^2} \sqrt{6a^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
Следовательно, угол между прямыми AC и AC1 равен \(\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.