ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 708 Атанасян — Подробные Ответы

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 \(AB = BC = \frac{1}{2}AA_1\). Найдите угол между прямыми:
а) BD и CD1;
б) AC и AC1.

a) Угол между прямыми BD и CD1 равен \(\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\)

б) Угол между прямыми AC и AC1 равен \(\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)

Дано: прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, где \(AB = BC = a\) и \(AA_1 = a\). Требуется найти углы между прямыми:

а) BD и CD1
б) AC и AC1

Решение:

а) Для нахождения угла между прямыми BD и CD1 используем формулу косинуса угла между двумя векторами:

\(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)

Координаты точек:
B(-a, 0, 0), D(-a, a, 0), C1(-a, a, 2a), CD1 = (-a, 0, 2a)

Вектор \(\vec{BD} = (-a, a, 0)\), вектор \(\vec{CD_1} = (-a, 0, 2a)\)

\(\cos(\vec{BD}, \vec{CD_1}) = \frac{\vec{BD} \cdot \vec{CD_1}}{|\vec{BD}||\vec{CD_1}|} = \frac{-a \cdot (-a) + a \cdot 0 + 0 \cdot 2a}{\sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} \sqrt{a^2 + 0^2 + (2a)^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{2a^2} \sqrt{5a^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}\)

Следовательно, угол между прямыми BD и CD1 равен \(\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\).

б) Для нахождения угла между прямыми AC и AC1 используем ту же формулу косинуса угла между двумя векторами:

Координаты точек:
A(0, 0, 0), C(a, a, 0), A1(0, 0, a), C1(a, a, 2a)

Вектор \(\vec{AC} = (a, a, 0)\), вектор \(\vec{AC_1} = (a, a, 2a)\)

\(\cos(\vec{AC}, \vec{AC_1}) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AC_1}}{|\vec{AC}||\vec{AC_1}|} = \frac{a \cdot a + a \cdot a + 0 \cdot 2a}{\sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} \sqrt{a^2 + a^2 + (2a)^2}} = \frac{2a^2}{\sqrt{2a^2} \sqrt{6a^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

Следовательно, угол между прямыми AC и AC1 равен \(\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\).