Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 707 Атанасян — Подробные Ответы
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка M лежит на ребре AA1, причём AM : MA1 = 3 : 1, а точка N — середина ребра BC. Вычислите косинус угла между прямыми:
а) MN и DD1;
б) MN и BD;
в) MN и B1D;
г) MN и A1C.
Решение:
а) Косинус угла между MN и DD1 равен \(\frac{3}{V29}\)
б) Косинус угла между MN и BD равен \(\frac{2}{V58}\)
в) Косинус угла между MN и B1D равен \(\frac{1}{V87}\)
г) Косинус угла между MN и A1C равен \(\frac{3\sqrt{3}}{V29}\)
Решение:
Дано: Куб ABCDA1B1C1D1, где AB = a. Точка M лежит на ребре AA1, причем AM : MA1 = 3 : 1, а точка N — середина ребра BC.
Для вычисления косинуса угла между различными прямыми, будем использовать формулу:
\(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\)
а) Косинус угла между MN и DD1:
Координаты точек:
M(\frac{a}{2}, \frac{3a}{4}, 0)
D(0, a, a)
D1(0, a, 0)
Вектор \(\vec{MN} = (\frac{a}{2}, \frac{a}{4}, 0)\)
Вектор \(\vec{DD1} = (0, a, -a)\)
\(\cos(\vec{MN}, \vec{DD1}) = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{DD1}}{|\vec{MN}| |\vec{DD1}|} = \frac{\frac{a^2}{2}}{|\vec{MN}| \sqrt{a^2 + a^2}} = \frac{3}{V29}\)
б) Косинус угла между MN и BD:
Координаты точек:
B(a, 0, 0)
D(0, a, 0)
Вектор \(\vec{MN} = (\frac{a}{2}, \frac{a}{4}, 0)\)
Вектор \(\vec{BD} = (a, -a, 0)\)
\(\cos(\vec{MN}, \vec{BD}) = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{BD}}{|\vec{MN}| |\vec{BD}|} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{|\vec{MN}| \sqrt{a^2 + a^2}} = -\frac{2}{V58}\)
в) Косинус угла между MN и B1D:
Координаты точек:
B1(a, a, -a)
Вектор \(\vec{MN} = (\frac{a}{2}, \frac{a}{4}, 0)\)
Вектор \(\vec{B1D} = (-a, a, -a)\)
\(\cos(\vec{MN}, \vec{B1D}) = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{B1D}}{|\vec{MN}| |\vec{B1D}|} = \frac{-\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4} + 0}{|\vec{MN}| \sqrt{a^2 + a^2 + a^2}} = \frac{1}{V87}\)
г) Косинус угла между MN и A1C:
Координаты точек:
A1(a, a, -a)
C(a, a, 0)
Вектор \(\vec{MN} = (\frac{a}{2}, \frac{a}{4}, 0)\)
Вектор \(\vec{A1C} = (0, a, a)\)
\(\cos(\vec{MN}, \vec{A1C}) = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{A1C}}{|\vec{MN}| |\vec{A1C}|} = \frac{\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4}}{|\vec{MN}| \sqrt{a^2 + a^2}} = \frac{3\sqrt{3}}{V29}\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.