Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 705 Атанасян — Подробные Ответы
Вычислите угол между прямыми AB и CD, если:
а) \(A(3; -2; 4)\), \(B(4; -1; 2)\), \(C(6; -3; 2)\), \(D(7; -3; 1)\);
б) \(A(5; -8; -1)\), \(B(6; -8; -2)\), \(C(7; -5; -11)\), \(D(7; -7; -9)\);
в) \(A(1; 0; 2)\), \(B(2; 1; 0)\), \(C(0; -2; -4)\), \(D(-2; -4; 0)\);
г) \(A(-6; -15; 7)\), \(B(-7; -15; 8)\), \(C(14; -10; 9)\), \(D(14; -10; 7)\).
Для вычисления угла между прямыми, заданными векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\), используем формулу косинуса угла:
\(\cos(\vec{a},\vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\)
а) Для точек \(A(3; -2; 4)\), \(B(4; -1; 2)\), \(C(6; -3; 2)\), \(D(7; -3; 1)\):
\(\vec{AB} = (1, 1, -2)\), \(\vec{CD} = (1, 0, -1)\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 3\)
\(|\vec{AB}| = \sqrt{6}\), \(|\vec{CD}| = \sqrt{2}\)
\(\cos(\vec{a},\vec{b}) = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 30^\circ\)
б) Для точек \(A(5; -8; -1)\), \(B(6; -8; -2)\), \(C(7; -5; -11)\), \(D(7; -7; -9)\):
\(\vec{AB} = (1, 0, -1)\), \(\vec{CD} = (0, -2, 2)\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = -2\)
\(|\vec{AB}| = \sqrt{2}\), \(|\vec{CD}| = 2\sqrt{2}\)
\(\cos(\vec{a},\vec{b}) = -\frac{1}{2} \Rightarrow 120^\circ\)
в) Для точек \(A(1; 0; 2)\), \(B(2; 1; 0)\), \(C(0; -2; -4)\), \(D(-2; -4; 0)\):
\(\vec{AB} = (1, 1, -2)\), \(\vec{CD} = (-2, -2, 4)\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = -12\)
\(|\vec{AB}| = \sqrt{6}\), \(|\vec{CD}| = 2\sqrt{6}\)
\(\cos(\vec{a},\vec{b}) = -1 \Rightarrow 180^\circ\)
г) Для точек \(A(-6; -15; 7)\), \(B(-7; -15; 8)\), \(C(14; -10; 9)\), \(D(14; -10; 7)\):
\(\vec{AB} = (-1, 0, 1)\), \(\vec{CD} = (0, 0, -2)\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = -2\)
\(|\vec{AB}| = \sqrt{2}\), \(|\vec{CD}| = 2\)
\(\cos(\vec{a},\vec{b}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow 135^\circ\)
Для вычисления угла между прямыми, заданными векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\), будем использовать формулу косинуса угла между двумя векторами:
\(\cos(\vec{a},\vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\)
Теперь рассмотрим каждый из примеров по отдельности.
Для точек \(A(3; -2; 4)\), \(B(4; -1; 2)\), \(C(6; -3; 2)\), \(D(7; -3; 1)\):
1. Находим вектор \(\vec{AB}\):
\(\vec{AB} = B — A = (4 — 3, -1 — (-2), 2 — 4) = (1, 1, -2)\).
2. Находим вектор \(\vec{CD}\):
\(\vec{CD} = D — C = (7 — 6, -3 — (-3), 1 — 2) = (1, 0, -1)\).
3. Находим скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{CD}\):
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot (-1) = 1 + 0 + 2 = 3\).
4. Находим длину вектора \(\vec{AB}\):
\(|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}\).
5. Находим длину вектора \(\vec{CD}\):
\(|\vec{CD}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\).
6. Подставляем все значения в формулу:
\(\cos(\vec{a},\vec{b}) = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
7. Находим угол:
\(\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ\).
Теперь перейдем ко второму примеру с точками \(A(5; -8; -1)\), \(B(6; -8; -2)\), \(C(7; -5; -11)\), \(D(7; -7; -9)\):
1. Находим вектор \(\vec{AB}\):
\(\vec{AB} = B — A = (6 — 5, -8 — (-8), -2 — (-1)) = (1, 0, -1)\).
2. Находим вектор \(\vec{CD}\):
\(\vec{CD} = D — C = (7 — 7, -7 — (-5), -9 — (-11)) = (0, -2, 2)\).
3. Находим скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{CD}\):
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 = 0 + 0 — 2 = -2\).
4. Находим длину вектора \(\vec{AB}\):
\(|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\).
5. Находим длину вектора \(\vec{CD}\):
\(|\vec{CD}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).
6. Подставляем все значения в формулу:
\(\cos(\vec{a},\vec{b}) = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\).
7. Находим угол:
\(\theta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ\).
Теперь рассмотрим третий пример с точками \(A(1; 0; 2)\), \(B(2; 1; 0)\), \(C(0; -2; -4)\), \(D(-2; -4; 0)\):
1. Находим вектор \(\vec{AB}\):
\(\vec{AB} = B — A = (2 — 1, 1 — 0, 0 — 2) = (1, 1, -2)\).
2. Находим вектор \(\vec{CD}\):
\(\vec{CD} = D — C = (-2 — 0, -4 — (-2), 0 — (-4)) = (-2, -2, 4)\).
3. Находим скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{CD}\):
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 1 \cdot (-2) + 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 4 = -2 — 2 — 8 = -12\).
4. Находим длину вектора \(\vec{AB}\):
\(|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}\).
5. Находим длину вектора \(\vec{CD}\):
\(|\vec{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\).
6. Подставляем все значения в формулу:
\(\cos(\vec{a},\vec{b}) = \frac{-12}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{-12}{12} = -1\).
7. Находим угол:
\(\theta = \arccos(-1) = 180^\circ\).
Теперь последний пример с точками \(A(-6; -15; 7)\), \(B(-7; -15; 8)\), \(C(14; -10; 9)\), \(D(14; -10; 7)\):
1. Находим вектор \(\vec{AB}\):
\(\vec{AB} = B — A = (-7 — (-6), -15 — (-15), 8 — 7) = (-1, 0, 1)\).
2. Находим вектор \(\vec{CD}\):
\(\vec{CD} = D — C = (14 — 14, -10 — (-10), 7 — 9) = (0, 0, -2)\).
3. Находим скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{CD}\):
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) = 0 + 0 — 2 = -2\).
4. Находим длину вектора \(\vec{AB}\):
\(|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\).
5. Находим длину вектора \(\vec{CD}\):
\(|\vec{CD}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 0 + 4} = 2\).
6. Подставляем все значения в формулу:
\(\cos(\vec{a},\vec{b}) = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\).
7. Находим угол:
\(\theta = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 135^\circ\).
Таким образом, углы между прямыми для всех наборов точек составляют: \(30^\circ\), \(120^\circ\), \(180^\circ\) и \(135^\circ\) соответственно.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.