Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 704 Атанасян — Подробные Ответы
В тетраэдре ABCD противоположные рёбра AD и BC, а также BD и AC перпендикулярны. Докажите, что противоположные рёбра CD и AB также перпендикулярны.
Решение: Введём векторы \(\vec{d} = \vec{DA}\), \(\vec{b} = \vec{DB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\). Тогда \(\vec{AB} = \vec{b} — \vec{a}\), \(\vec{AC} = \vec{c} — \vec{a}\), \(\vec{BC} = \vec{c} — \vec{b}\). По условию \(\vec{AD} \perp \vec{BC}\) и \(\vec{BD} \perp \vec{AC}\), поэтому \(\vec{a} \perp (\vec{c} — \vec{b})\) и \(\vec{b} \perp (\vec{c} — \vec{a})\). Следовательно, \(\vec{a}(\vec{c} — \vec{b}) = 0\) и \(\vec{b}(\vec{c} — \vec{a}) = 0\). Отсюда получаем \(\vec{a}\vec{c} = \vec{a}\vec{b}\) и \(\vec{b}\vec{c} = \vec{b}\vec{a}\). Из этих двух равенств следует, что \(\vec{a}\vec{c} = \vec{b}\vec{c}\), или \((\vec{b} — \vec{a})\vec{c} = 0\). Но \(\vec{b} — \vec{a} = \vec{AB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\), поэтому \(\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 0\), и, значит, \(\vec{AB} \perp \vec{CD}\), что и требовалось доказать.
В тетраэдре ABCD противоположные рёбра AD и BC, а также BD и AC перпендикулярны. Докажем, что противоположные рёбра CD и AB также перпендикулярны. Введём векторы \(\vec{d} = \vec{DA}\), \(\vec{b} = \vec{DB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\). Тогда \(\vec{AB} = \vec{b} — \vec{a}\), \(\vec{AC} = \vec{c} — \vec{a}\), \(\vec{BC} = \vec{c} — \vec{b}\). По условию \(\vec{AD} \perp \vec{BC}\) и \(\vec{BD} \perp \vec{AC}\), поэтому \(\vec{a} \perp (\vec{c} — \vec{b})\) и \(\vec{b} \perp (\vec{c} — \vec{a})\). Следовательно, \(\vec{a}(\vec{c} — \vec{b}) = 0\) и \(\vec{b}(\vec{c} — \vec{a}) = 0\). Отсюда получаем \(\vec{a}\vec{c} = \vec{a}\vec{b}\) и \(\vec{b}\vec{c} = \vec{b}\vec{a}\). Из этих двух равенств следует, что \(\vec{a}\vec{c} = \vec{b}\vec{c}\), или \((\vec{b} — \vec{a})\vec{c} = 0\). Но \(\vec{b} — \vec{a} = \vec{AB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\), поэтому \(\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 0\), и, значит, \(\vec{AB} \perp \vec{CD}\).
В тетраэдре ABCD противоположные рёбра AD и BC, а также BD и AC перпендикулярны. Докажем, что противоположные рёбра CD и AB также перпендикулярны.
Введём векторы \(\vec{d} = \vec{DA}\), \(\vec{b} = \vec{DB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\). Тогда \(\vec{AB} = \vec{b} — \vec{a}\), \(\vec{AC} = \vec{c} — \vec{a}\), \(\vec{BC} = \vec{c} — \vec{b}\).
По условию \(\vec{AD} \perp \vec{BC}\) и \(\vec{BD} \perp \vec{AC}\), поэтому \(\vec{a} \perp (\vec{c} — \vec{b})\) и \(\vec{b} \perp (\vec{c} — \vec{a})\). Следовательно, \(\vec{a}(\vec{c} — \vec{b}) = 0\) и \(\vec{b}(\vec{c} — \vec{a}) = 0\).
Отсюда получаем \(\vec{a}\vec{c} = \vec{a}\vec{b}\) и \(\vec{b}\vec{c} = \vec{b}\vec{a}\). Из этих двух равенств следует, что \(\vec{a}\vec{c} = \vec{b}\vec{c}\), или \((\vec{b} — \vec{a})\vec{c} = 0\).
Но \(\vec{b} — \vec{a} = \vec{AB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\), поэтому \(\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 0\), и, значит, \(\vec{AB} \perp \vec{CD}\), что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.