1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по геометрии за 11 класс Учебник 📕 Атанасян — Все Части
Геометрия
11 класс учебник Атанасян
11 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Авторы
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г.
Год
2015-2025
Издательство
Просвещение
Описание

Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?

Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.

Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.

Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.

Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.

Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.

Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.

В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.

ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 704 Атанасян — Подробные Ответы

Задача

В тетраэдре ABCD противоположные рёбра AD и BC, а также BD и AC перпендикулярны. Докажите, что противоположные рёбра CD и AB также перпендикулярны.
Решение: Введём векторы \(\vec{d} = \vec{DA}\), \(\vec{b} = \vec{DB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\). Тогда \(\vec{AB} = \vec{b} — \vec{a}\), \(\vec{AC} = \vec{c} — \vec{a}\), \(\vec{BC} = \vec{c} — \vec{b}\). По условию \(\vec{AD} \perp \vec{BC}\) и \(\vec{BD} \perp \vec{AC}\), поэтому \(\vec{a} \perp (\vec{c} — \vec{b})\) и \(\vec{b} \perp (\vec{c} — \vec{a})\). Следовательно, \(\vec{a}(\vec{c} — \vec{b}) = 0\) и \(\vec{b}(\vec{c} — \vec{a}) = 0\). Отсюда получаем \(\vec{a}\vec{c} = \vec{a}\vec{b}\) и \(\vec{b}\vec{c} = \vec{b}\vec{a}\). Из этих двух равенств следует, что \(\vec{a}\vec{c} = \vec{b}\vec{c}\), или \((\vec{b} — \vec{a})\vec{c} = 0\). Но \(\vec{b} — \vec{a} = \vec{AB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\), поэтому \(\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 0\), и, значит, \(\vec{AB} \perp \vec{CD}\), что и требовалось доказать.

Краткий ответ:


В тетраэдре ABCD противоположные рёбра AD и BC, а также BD и AC перпендикулярны. Докажем, что противоположные рёбра CD и AB также перпендикулярны. Введём векторы \(\vec{d} = \vec{DA}\), \(\vec{b} = \vec{DB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\). Тогда \(\vec{AB} = \vec{b} — \vec{a}\), \(\vec{AC} = \vec{c} — \vec{a}\), \(\vec{BC} = \vec{c} — \vec{b}\). По условию \(\vec{AD} \perp \vec{BC}\) и \(\vec{BD} \perp \vec{AC}\), поэтому \(\vec{a} \perp (\vec{c} — \vec{b})\) и \(\vec{b} \perp (\vec{c} — \vec{a})\). Следовательно, \(\vec{a}(\vec{c} — \vec{b}) = 0\) и \(\vec{b}(\vec{c} — \vec{a}) = 0\). Отсюда получаем \(\vec{a}\vec{c} = \vec{a}\vec{b}\) и \(\vec{b}\vec{c} = \vec{b}\vec{a}\). Из этих двух равенств следует, что \(\vec{a}\vec{c} = \vec{b}\vec{c}\), или \((\vec{b} — \vec{a})\vec{c} = 0\). Но \(\vec{b} — \vec{a} = \vec{AB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\), поэтому \(\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 0\), и, значит, \(\vec{AB} \perp \vec{CD}\).

Подробный ответ:


В тетраэдре ABCD противоположные рёбра AD и BC, а также BD и AC перпендикулярны. Докажем, что противоположные рёбра CD и AB также перпендикулярны.

Введём векторы \(\vec{d} = \vec{DA}\), \(\vec{b} = \vec{DB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\). Тогда \(\vec{AB} = \vec{b} — \vec{a}\), \(\vec{AC} = \vec{c} — \vec{a}\), \(\vec{BC} = \vec{c} — \vec{b}\).

По условию \(\vec{AD} \perp \vec{BC}\) и \(\vec{BD} \perp \vec{AC}\), поэтому \(\vec{a} \perp (\vec{c} — \vec{b})\) и \(\vec{b} \perp (\vec{c} — \vec{a})\). Следовательно, \(\vec{a}(\vec{c} — \vec{b}) = 0\) и \(\vec{b}(\vec{c} — \vec{a}) = 0\).

Отсюда получаем \(\vec{a}\vec{c} = \vec{a}\vec{b}\) и \(\vec{b}\vec{c} = \vec{b}\vec{a}\). Из этих двух равенств следует, что \(\vec{a}\vec{c} = \vec{b}\vec{c}\), или \((\vec{b} — \vec{a})\vec{c} = 0\).

Но \(\vec{b} — \vec{a} = \vec{AB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\), поэтому \(\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 0\), и, значит, \(\vec{AB} \perp \vec{CD}\), что и требовалось доказать.


Исследовательские задачи
Общая оценка
4.9 / 5
Комментарии
Другие предметы
Как пользоваться ГДЗ

Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.