Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 704 Атанасян — Подробные Ответы
В тетраэдре ABCD противоположные рёбра AD и BC, а также BD и AC перпендикулярны. Докажите, что противоположные рёбра CD и AB также перпендикулярны.
Решение: Введём векторы \(\vec{d} = \vec{DA}\), \(\vec{b} = \vec{DB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\). Тогда \(\vec{AB} = \vec{b} — \vec{a}\), \(\vec{AC} = \vec{c} — \vec{a}\), \(\vec{BC} = \vec{c} — \vec{b}\). По условию \(\vec{AD} \perp \vec{BC}\) и \(\vec{BD} \perp \vec{AC}\), поэтому \(\vec{a} \perp (\vec{c} — \vec{b})\) и \(\vec{b} \perp (\vec{c} — \vec{a})\). Следовательно, \(\vec{a}(\vec{c} — \vec{b}) = 0\) и \(\vec{b}(\vec{c} — \vec{a}) = 0\). Отсюда получаем \(\vec{a}\vec{c} = \vec{a}\vec{b}\) и \(\vec{b}\vec{c} = \vec{b}\vec{a}\). Из этих двух равенств следует, что \(\vec{a}\vec{c} = \vec{b}\vec{c}\), или \((\vec{b} — \vec{a})\vec{c} = 0\). Но \(\vec{b} — \vec{a} = \vec{AB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\), поэтому \(\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 0\), и, значит, \(\vec{AB} \perp \vec{CD}\), что и требовалось доказать.
В тетраэдре ABCD противоположные рёбра AD и BC, а также BD и AC перпендикулярны. Докажем, что противоположные рёбра CD и AB также перпендикулярны. Введём векторы \(\vec{d} = \vec{DA}\), \(\vec{b} = \vec{DB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\). Тогда \(\vec{AB} = \vec{b} — \vec{a}\), \(\vec{AC} = \vec{c} — \vec{a}\), \(\vec{BC} = \vec{c} — \vec{b}\). По условию \(\vec{AD} \perp \vec{BC}\) и \(\vec{BD} \perp \vec{AC}\), поэтому \(\vec{a} \perp (\vec{c} — \vec{b})\) и \(\vec{b} \perp (\vec{c} — \vec{a})\). Следовательно, \(\vec{a}(\vec{c} — \vec{b}) = 0\) и \(\vec{b}(\vec{c} — \vec{a}) = 0\). Отсюда получаем \(\vec{a}\vec{c} = \vec{a}\vec{b}\) и \(\vec{b}\vec{c} = \vec{b}\vec{a}\). Из этих двух равенств следует, что \(\vec{a}\vec{c} = \vec{b}\vec{c}\), или \((\vec{b} — \vec{a})\vec{c} = 0\). Но \(\vec{b} — \vec{a} = \vec{AB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\), поэтому \(\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 0\), и, значит, \(\vec{AB} \perp \vec{CD}\).
В тетраэдре ABCD противоположные рёбра AD и BC, а также BD и AC перпендикулярны. Докажем, что противоположные рёбра CD и AB также перпендикулярны.
Введём векторы \(\vec{d} = \vec{DA}\), \(\vec{b} = \vec{DB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\). Тогда \(\vec{AB} = \vec{b} — \vec{a}\), \(\vec{AC} = \vec{c} — \vec{a}\), \(\vec{BC} = \vec{c} — \vec{b}\).
По условию \(\vec{AD} \perp \vec{BC}\) и \(\vec{BD} \perp \vec{AC}\), поэтому \(\vec{a} \perp (\vec{c} — \vec{b})\) и \(\vec{b} \perp (\vec{c} — \vec{a})\). Следовательно, \(\vec{a}(\vec{c} — \vec{b}) = 0\) и \(\vec{b}(\vec{c} — \vec{a}) = 0\).
Отсюда получаем \(\vec{a}\vec{c} = \vec{a}\vec{b}\) и \(\vec{b}\vec{c} = \vec{b}\vec{a}\). Из этих двух равенств следует, что \(\vec{a}\vec{c} = \vec{b}\vec{c}\), или \((\vec{b} — \vec{a})\vec{c} = 0\).
Но \(\vec{b} — \vec{a} = \vec{AB}\), \(\vec{c} = \vec{DC}\), поэтому \(\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 0\), и, значит, \(\vec{AB} \perp \vec{CD}\), что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.