Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 703 Атанасян — Подробные Ответы
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 \(AA_1 = AB = AD = 1\), \(\angle DAB = 60^\circ\), \(\angle A_1AB = 90^\circ\). Вычислите: а) \(BA \cdot D_1C_1\); б) \(BC_1 \cdot D_1B\); в) \(AC_1 \cdot AC_1\); г) \(|DB_1|\); д) \(|A_1C_1|\); е) \(\cos (DA_1 D_1B)\); ж) \(\cos (AC_1 DB_1)\).
Решение:
а) \(BA \cdot D_1C_1 = \cos(180^\circ) \cdot 1 \cdot 1 = -1\)
б) \(BC_1 \cdot D_1B = BC_1 \cdot (D_1C_1 + C_1B_1 + B_1B) = BC_1 \cdot D_1C_1 + \)
\(+BC_1 \cdot C_1B_1 + BC_1 \cdot B_1B = 5\)
в) \(A_1C_1 = \sqrt{AC^2 + A_1A_1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\)
е) \(\cos (DA_1, D_1B) = \frac{1}{2}\)
ж) \(\cos (AC_1, DB_1) = \frac{1}{2\sqrt{2}}\)
Хорошо, вот подробное решение задачи:
Дано параллелепипед ABCDA1B1C1D1, где \(AB = AD = AA_1 = 1\), \(\angle DAB = 60^\circ\), \(\angle A_1AB = 90^\circ\).
а) Вычислим \(BA \cdot D_1C_1\):
Согласно свойствам параллелепипеда, диагонали противоположных граней пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Поэтому \(\cos(BA, D_1C_1) = \cos(180^\circ) = -1\). Следовательно, \(BA \cdot D_1C_1 = -1\).
б) Вычислим \(BC_1 \cdot D_1B\):
Используя теорему косинусов, находим длины ребер параллелепипеда: \(DC_1 = AB_1 = CD_1 = BA_1 = BC_1 = CB_1 = AD_1 = DA_1 = \sqrt{2}\). Длина диагонали \(BD = B_1D_1 = 1\).
Тогда \(BC_1 \cdot D_1B = BC_1 \cdot (D_1C_1 + C_1B_1 + B_1B) = BC_1 \cdot D_1C_1 + \)
\(+BC_1 \cdot C_1B_1 + BC_1 \cdot B_1B = (\sqrt{2} + \sqrt{2} + 1) \cdot \sqrt{2} = 5\).
в) Вычислим \(|A_1C_1|\):
Используя теорему Пифагора, находим \(|A_1C_1| = \sqrt{AC^2 + A_1A_1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\).
е) Вычислим \(\cos(DA_1, D_1B)\):
Согласно свойствам параллелепипеда, \(\angle BAC = \angle BCA = 30^\circ\). Тогда \(\cos(DA_1, D_1B) = \frac{DA_1 \cdot D_1B}{|DA_1| \cdot |D_1B|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\).
ж) Вычислим \(\cos(AC_1, DB_1)\):
Используя теорему косинусов, находим \(|DA_1| = |DB_1| = \sqrt{2}\), \(|AC_1| = \sqrt{3}\), \(|DC| = 1\). Тогда \(\cos(AC_1, DB_1) = \frac{DA_1 \cdot DB_1}{|DA_1| \cdot |DB_1|} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\).
Ответ:
а) \(BA \cdot D_1C_1 = -1\)
б) \(BC_1 \cdot D_1B = 5\)
в) \(|A_1C_1| = 2\)
е) \(\cos(DA_1, D_1B) = \frac{1}{2}\)
ж) \(\cos(AC_1, DB_1) = \frac{1}{2\sqrt{2}}\)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.