ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 702 Атанасян — Подробные Ответы

Все рёбра тетраэдра ABCD равны друг другу. Точки M и N — середины рёбер AD и BC. Докажите, что \(MN \perp AD = MN \cdot BC = 0\)

Решение:
1) Так как все рёбра тетраэдра ABCD равны, то \(AB = BC = CA = a\) и \(AD = DC = DB = a\).
2) Угол между любыми двумя плоскостями тетраэдра равен \(60^\circ\).
3) Используя формулу косинуса угла между векторами \(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\), получаем:
\(\cos(\vec{MN}, \vec{AD}) = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{AD}}{|\vec{MN}||\vec{AD}|} = 0\)
\(\cos(\vec{MN}, \vec{BC}) = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{BC}}{|\vec{MN}||\vec{BC}|} = 0\)
Таким образом, \(\vec{MN} \perp \vec{AD}\) и \(\vec{MN} \perp \vec{BC}\), следовательно, \(MN \cdot AD = MN \cdot BC = 0\).

Дано: Тетраэдр ABCD, у которого все рёбра равны, то есть \(AB = BC = CA = a\) и \(AD = DC = DB = a\). Все плоские углы тетраэдра равны \(60^\circ\). Требуется доказать, что \(MN \perp AD\) и \(MN \cdot AD = 0\), где M и N — середины рёбер AD и BC соответственно.

Решение:
1) Рассмотрим вектор \(\vec{MN}\), который является средней линией треугольника ABC. Так как все рёбра тетраэдра равны, то \(\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB}\).
2) Вектор \(\vec{AD}\) является диагональю тетраэдра ABCD. Так как все плоские углы тетраэдра равны \(60^\circ\), то углы между любыми двумя плоскостями тетраэдра также равны \(60^\circ\).
3) Используя формулу косинуса угла между векторами \(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\), получаем:
\(\cos(\vec{MN}, \vec{AD}) = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{AD}}{|\vec{MN}||\vec{AD}|} = \frac{\frac{1}{2}\vec{AB} \cdot \vec{AD}}{|\frac{1}{2}\vec{AB}||\vec{AD}|} = \frac{1}{2}\cos(60^\circ) = 0\)
4) Следовательно, \(\vec{MN} \perp \vec{AD}\) и \(MN \cdot AD = 0\).

Таким образом, доказано, что \(MN \perp AD\) и \(MN \cdot AD = 0\).