Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 702 Атанасян — Подробные Ответы
Все рёбра тетраэдра ABCD равны друг другу. Точки M и N — середины рёбер AD и BC. Докажите, что \(MN \perp AD = MN \cdot BC = 0\)
Решение:
1) Так как все рёбра тетраэдра ABCD равны, то \(AB = BC = CA = a\) и \(AD = DC = DB = a\).
2) Угол между любыми двумя плоскостями тетраэдра равен \(60^\circ\).
3) Используя формулу косинуса угла между векторами \(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\), получаем:
\(\cos(\vec{MN}, \vec{AD}) = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{AD}}{|\vec{MN}||\vec{AD}|} = 0\)
\(\cos(\vec{MN}, \vec{BC}) = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{BC}}{|\vec{MN}||\vec{BC}|} = 0\)
Таким образом, \(\vec{MN} \perp \vec{AD}\) и \(\vec{MN} \perp \vec{BC}\), следовательно, \(MN \cdot AD = MN \cdot BC = 0\).
Дано: Тетраэдр ABCD, у которого все рёбра равны, то есть \(AB = BC = CA = a\) и \(AD = DC = DB = a\). Все плоские углы тетраэдра равны \(60^\circ\). Требуется доказать, что \(MN \perp AD\) и \(MN \cdot AD = 0\), где M и N — середины рёбер AD и BC соответственно.
Решение:
1) Рассмотрим вектор \(\vec{MN}\), который является средней линией треугольника ABC. Так как все рёбра тетраэдра равны, то \(\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB}\).
2) Вектор \(\vec{AD}\) является диагональю тетраэдра ABCD. Так как все плоские углы тетраэдра равны \(60^\circ\), то углы между любыми двумя плоскостями тетраэдра также равны \(60^\circ\).
3) Используя формулу косинуса угла между векторами \(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\), получаем:
\(\cos(\vec{MN}, \vec{AD}) = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{AD}}{|\vec{MN}||\vec{AD}|} = \frac{\frac{1}{2}\vec{AB} \cdot \vec{AD}}{|\frac{1}{2}\vec{AB}||\vec{AD}|} = \frac{1}{2}\cos(60^\circ) = 0\)
4) Следовательно, \(\vec{MN} \perp \vec{AD}\) и \(MN \cdot AD = 0\).
Таким образом, доказано, что \(MN \perp AD\) и \(MN \cdot AD = 0\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.