Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 701 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что координаты ненулевого вектора \(a\) в прямоугольной системе координат равны \(|a| \cos \phi_1\), \(|a| \cos \phi_2\), \(|a| \cos \phi_3\), где \(\phi_1 = \arccos \frac{a_x}{|a|}\), \(\phi_2 = \arccos \frac{a_y}{|a|}\), \(\phi_3 = \arccos \frac{a_z}{|a|}\).
Решение: Если вектор \(a\) имеет координаты \((x, y, z)\), то \(\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\). Умножив это равенство скалярно на \(\vec{i}\) и используя свойства скалярного произведения, получим \(a_x = |a| \cos \phi_1\). Аналогично для \(a_y\) и \(a_z\).
Доказательство: Если вектор \(a\) имеет координаты \((x, y, z)\), то \(\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\). Умножив это равенство скалярно на \(\vec{i}\) и используя свойства скалярного произведения, получим \(a_x = |a| \cos \phi_1\). Аналогично для \(a_y\) и \(a_z\), \(a_y = |a| \cos \phi_2\) и \(a_z = |a| \cos \phi_3\).
Дано: Вектор \(a\) имеет координаты \((x, y, z)\) в прямоугольной системе координат.
Доказательство:
1) Представим вектор \(a\) как линейную комбинацию базисных векторов:
\(\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\)
2) Умножим это равенство скалярно на вектор \(\vec{i}\):
\(\vec{a} \cdot \vec{i} = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{i} = x(\vec{i} \cdot \vec{i}) + y(\vec{j} \cdot \vec{i}) + z(\vec{k} \cdot \vec{i})\)
3) Используя свойства скалярного произведения, получим:
\(\vec{a} \cdot \vec{i} = x(1) + y(0) + z(0) = x\)
4) По определению скалярного произведения:
\(\vec{a} \cdot \vec{i} = |a||\vec{i}|\cos\phi_1 = |a|\cos\phi_1\)
5) Приравнивая правые части, получаем:
\(x = |a|\cos\phi_1\)
6) Аналогично для координат \(y\) и \(z\):
\(y = |a|\cos\phi_2\)
\(z = |a|\cos\phi_3\)
Таким образом, доказано, что координаты ненулевого вектора \(a\) в прямоугольной системе координат равны \(|a|\cos\phi_1\), \(|a|\cos\phi_2\), \(|a|\cos\phi_3\), где \(\phi_1 = \arccos\frac{a_x}{|a|}\), \(\phi_2 = \arccos\frac{a_y}{|a|}\), \(\phi_3 = \arccos\frac{a_z}{|a|}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.