ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 701 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что координаты ненулевого вектора \(a\) в прямоугольной системе координат равны \(|a| \cos \phi_1\), \(|a| \cos \phi_2\), \(|a| \cos \phi_3\), где \(\phi_1 = \arccos \frac{a_x}{|a|}\), \(\phi_2 = \arccos \frac{a_y}{|a|}\), \(\phi_3 = \arccos \frac{a_z}{|a|}\).
Решение: Если вектор \(a\) имеет координаты \((x, y, z)\), то \(\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\). Умножив это равенство скалярно на \(\vec{i}\) и используя свойства скалярного произведения, получим \(a_x = |a| \cos \phi_1\). Аналогично для \(a_y\) и \(a_z\).

Доказательство: Если вектор \(a\) имеет координаты \((x, y, z)\), то \(\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\). Умножив это равенство скалярно на \(\vec{i}\) и используя свойства скалярного произведения, получим \(a_x = |a| \cos \phi_1\). Аналогично для \(a_y\) и \(a_z\), \(a_y = |a| \cos \phi_2\) и \(a_z = |a| \cos \phi_3\).

Дано: Вектор \(a\) имеет координаты \((x, y, z)\) в прямоугольной системе координат.

Доказательство:
1) Представим вектор \(a\) как линейную комбинацию базисных векторов:
\(\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\)

2) Умножим это равенство скалярно на вектор \(\vec{i}\):
\(\vec{a} \cdot \vec{i} = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{i} = x(\vec{i} \cdot \vec{i}) + y(\vec{j} \cdot \vec{i}) + z(\vec{k} \cdot \vec{i})\)

3) Используя свойства скалярного произведения, получим:
\(\vec{a} \cdot \vec{i} = x(1) + y(0) + z(0) = x\)

4) По определению скалярного произведения:
\(\vec{a} \cdot \vec{i} = |a||\vec{i}|\cos\phi_1 = |a|\cos\phi_1\)

5) Приравнивая правые части, получаем:
\(x = |a|\cos\phi_1\)

6) Аналогично для координат \(y\) и \(z\):
\(y = |a|\cos\phi_2\)
\(z = |a|\cos\phi_3\)

Таким образом, доказано, что координаты ненулевого вектора \(a\) в прямоугольной системе координат равны \(|a|\cos\phi_1\), \(|a|\cos\phi_2\), \(|a|\cos\phi_3\), где \(\phi_1 = \arccos\frac{a_x}{|a|}\), \(\phi_2 = \arccos\frac{a_y}{|a|}\), \(\phi_3 = \arccos\frac{a_z}{|a|}\).