Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 700 Атанасян — Подробные Ответы
Векторы \(a\) и \(b\) перпендикулярны к вектору \(c\), \(ab = 120^\circ\), \(|a| = |b| = |c| = 1\). Вычислите: а) скалярные произведения \((a + b + c)(2b)\) и \((a — b + d)(a — c)\); б) \(|a — b|\) и \(|a + b — c|\).
а) Скалярные произведения:
\((a + b + c)(2b) = 2ab + 2|b| + 2bc = 2|a||b|\cos(ab) + 2|b|^2 + 2|c|\cos(bc) = \)
\(2\cos 120^\circ + 2 + 2\cos 90^\circ = -1 + 2 = 1\)
\((a — b + c)(a — c) = |a|^2 — ac — ab + bc + ac — |c|^2 = |a|^2 — |a||b|\cos(ab) +\)
\(+ |b||c|\cos(bc) — |c|^2 = 1 — \cos 120^\circ + \cos 90^\circ — 1 = \frac{1}{2}\)
б) \(|a — b| = \sqrt{|a|^2 + |b|^2 — 2|a||b|\cos(ab)} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}\)
\(|a + b — c| = \sqrt{|a + b|^2 + |c|^2} = \)
\(=\sqrt{|a|^2 + |b|^2 — 2|a||b|\cos(180^\circ — ab) + |c|^2} = \sqrt{2 — 1 + 1} = \sqrt{2}\)
Решение:
Дано:
— Векторы \(a\) и \(b\) перпендикулярны к вектору \(c\)
— \(ab = 120^\circ\)
— \(|a| = |b| = |c| = 1\)
Требуется вычислить:
а) Скалярные произведения \((a + b + c)(2b)\) и \((a — b + c)(a — c)\)
б) \(|a — b|\) и \(|a + b — c|\)
а) Вычисление скалярных произведений:
Скалярное произведение \((a + b + c)(2b)\):
\((a + b + c)(2b) = 2ab + 2|b| + 2bc\)
Используя данные условия, имеем:
\(2ab = 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = -1\)
\(2|b| = 2 \cdot 1 = 2\)
\(2bc = 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(90^\circ) = 0\)
Подставляя значения, получаем:
\((a + b + c)(2b) = -1 + 2 + 0 = 1\)
Скалярное произведение \((a — b + c)(a — c)\):
\((a — b + c)(a — c) = a \cdot a — a \cdot b + a \cdot c — b \cdot c + c \cdot c\)
Используя данные условия, имеем:
\(a \cdot a = 1\)
\(a \cdot b = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\)
\(a \cdot c = \cos(90^\circ) = 0\)
\(b \cdot c = \cos(90^\circ) = 0\)
\(c \cdot c = 1\)
Подставляя значения, получаем:
\((a — b + c)(a — c) = 1 — (-\frac{1}{2}) + 0 — 0 + 1 = \frac{1}{2}\)
б) Вычисление модулей векторов:
Модуль вектора \(a — b\):
\(|a — b| = \sqrt{|a|^2 + |b|^2 — 2|a||b|\cos(ab)} = \sqrt{1 + 1 — 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)} = \sqrt{3}\)
Модуль вектора \(a + b — c\):
\(|a + b — c| = \sqrt{|a + b|^2 + |c|^2} = \)
\(=\sqrt{|a|^2 + |b|^2 — 2|a||b|\cos(180^\circ — ab) + |c|^2} = \sqrt{2 — 1 + 1} = \sqrt{2}\)
Таким образом, полное решение задачи:
а) \((a + b + c)(2b) = 1\), \((a — b + c)(a — c) = \frac{1}{2}\)
б) \(|a — b| = \sqrt{3}\), \(|a + b — c| = \sqrt{2}\)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.