Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 695 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки А (1; -1; 3), В (3; -1; 1) и С (-1; 1; 3)
Решение:
Для нахождения углов треугольника АВС используем формулу косинуса угла между векторами:
\(\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}\)
Находим координаты векторов:
\(\vec{AB} = (2; 0; -2), \|\vec{AB}\| = \sqrt{4 + 0 + 4} = 2\sqrt{2}\)
\(\vec{BC} = (-7; 3; 0), \|\vec{BC}\| = \sqrt{49 + 9 + 0} = 2\sqrt{13}\)
\(\vec{AC} = (-3; 3; 0), \|\vec{AC}\| = \sqrt{9 + 9 + 0} = 2\sqrt{2}\)
Вычисляем косинусы углов:
\(\cos (\vec{AB}, \vec{BC}) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{\|\vec{AB}\| \|\vec{BC}\|} = \frac{-14}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{13}} = -\frac{1}{2\sqrt{13}}\)
\(\cos (\vec{BC}, \vec{AC}) = \frac{\vec{BC} \cdot \vec{AC}}{\|\vec{BC}\| \|\vec{AC}\|} = \frac{-21}{2\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{2}} = -\frac{3}{2\sqrt{26}}\)
\(\cos (\vec{AC}, \vec{AB}) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{\|\vec{AC}\| \|\vec{AB}\|} = \frac{6}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{3}{4}\)
Находим углы треугольника:
\(\angle ABC = \arccos \left(-\frac{1}{2\sqrt{13}}\right) \approx 120.96^\circ\)
\(\angle BCA = \arccos \left(-\frac{3}{2\sqrt{26}}\right) \approx 127.87^\circ\)
\(\angle ACB = \arccos \left(\frac{3}{4}\right) \approx 53.13^\circ\)
Периметр треугольника:
\(P = \|\vec{AB}\| + \|\vec{BC}\| + \|\vec{AC}\| = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{13} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{13}\)
Площадь треугольника:
\(S = \frac{1}{2} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
где \(p = \frac{a + b + c}{2}\) — полупериметр, \(a = \|\vec{AB}\|, b = \|\vec{BC}\|, c = \|\vec{AC}\|\)
\(p = \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{13} + 2\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} + \sqrt{13}\)
\(S = \frac{1}{2} \sqrt{(3\sqrt{2} + \sqrt{13})(3\sqrt{2} + \sqrt{13} — 2\sqrt{2})(3\sqrt{2} + \sqrt{13} — 2\sqrt{13})}\)
\(\sqrt{(3\sqrt{2} + \sqrt{13} — 2\sqrt{2})} \approx 6.93\)
Ответ: \(\angle ABC \approx 120.96^\circ, \angle BCA \approx 127.87^\circ, \angle ACB \approx 53.13^\circ, P = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{13}, \)
\(S \approx 6.93\)
Решение:
Для нахождения углов, периметра и площади треугольника АВС с вершинами в точках А(1; -1; 3), В(3; -1; 1) и С(-1; 1; 3) будем использовать следующие формулы:
Координаты векторов:
\(\vec{AB} = (x_B — x_A, y_B — y_A, z_B — z_A) = (2, 0, -2)\)
\(\vec{BC} = (x_C — x_B, y_C — y_B, z_C — z_B) = (-4, 2, 2)\)
\(\vec{AC} = (x_C — x_A, y_C — y_A, z_C — z_A) = (-2, 2, 0)\)
Длины векторов:
\(\|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = 2\sqrt{2}\)
\(\|\vec{BC}\| = \sqrt{(x_C — x_B)^2 + (y_C — y_B)^2 + (z_C — z_B)^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = 2\sqrt{13}\)
\(\|\vec{AC}\| = \sqrt{(x_C — x_A)^2 + (y_C — y_A)^2 + (z_C — z_A)^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = 2\sqrt{2}\)
Косинусы углов:
\(\cos (\vec{AB}, \vec{BC}) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{\|\vec{AB}\| \|\vec{BC}\|} = \frac{-14}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{13}} = -\frac{1}{2\sqrt{13}}\)
\(\cos (\vec{BC}, \vec{AC}) = \frac{\vec{BC} \cdot \vec{AC}}{\|\vec{BC}\| \|\vec{AC}\|} = \frac{-21}{2\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{2}} = -\frac{3}{2\sqrt{26}}\)
\(\cos (\vec{AC}, \vec{AB}) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{\|\vec{AC}\| \|\vec{AB}\|} = \frac{6}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{3}{4}\)
Углы треугольника:
\(\angle ABC = \arccos \left(-\frac{1}{2\sqrt{13}}\right) \approx 120.96^\circ\)
\(\angle BCA = \arccos \left(-\frac{3}{2\sqrt{26}}\right) \approx 127.87^\circ\)
\(\angle ACB = \arccos \left(\frac{3}{4}\right) \approx 53.13^\circ\)
Периметр треугольника:
\(P = \|\vec{AB}\| + \|\vec{BC}\| + \|\vec{AC}\| = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{13} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{13}\)
Площадь треугольника:
Используем формулу Герона:
\(S = \frac{1}{2} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
где \(p = \frac{a + b + c}{2}\) — полупериметр, \(a = \|\vec{AB}\|, b = \|\vec{BC}\|, c = \|\vec{AC}\|\)
\(p = \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{13} + 2\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} + \sqrt{13}\)
\(S = \frac{1}{2} \sqrt{(3\sqrt{2} + \sqrt{13})(3\sqrt{2} + \sqrt{13} — 2\sqrt{2})(3\sqrt{2} + \sqrt{13} — 2\sqrt{13})}\)
\(\sqrt{(3\sqrt{2} + \sqrt{13} — 2\sqrt{2})} \approx 6.93\)
Ответ: \(\angle ABC \approx 120.96^\circ, \angle BCA \approx 127.87^\circ, \angle ACB \approx 53.13^\circ, P = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{13},\)
\( S \approx 6.93\)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.