Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 694 Атанасян — Подробные Ответы
Даны точки А (1; 3; 0), В (2; 3; -1) и С (1; 2; -1). Вычислите угол между векторами СА и СВ.
Решение:
Координаты векторов СА и СВ: СА(0; 1; 1), СВ(1; 1; 0)
Для вычисления угла между векторами СА и СВ используем формулу:
\(\cos (\vec{CA}, \vec{CB}) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{\|\vec{CA}\| \|\vec{CB}\|}\)
Вычисляя скалярное произведение и нормы векторов, получаем:
\(\cos (\vec{CA}, \vec{CB}) = \frac{0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\)
Следовательно, угол между векторами СА и СВ равен 60°.
Ответ: 60°
Дано:
Точки А(1; 3; 0), В(2; 3; -1) и С(1; 2; -1).
Требуется найти угол между векторами СА и СВ.
Решение:
Для начала найдем координаты векторов СА и СВ:
Вектор СА = (0; 1; 1)
Вектор СВ = (1; 1; 0)
Далее, для вычисления угла между двумя векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) используется формула:
\(\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}\)
Где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) — скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а \(\|\vec{a}\|\) и \(\|\vec{b}\|\) — модули (длины) векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно.
Вычислим скалярное произведение векторов СА и СВ:
\(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1\)
Вычислим модули векторов СА и СВ:
\(\|\vec{CA}\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
\(\|\vec{CB}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\)
Подставим полученные значения в формулу:
\(\cos (\vec{CA}, \vec{CB}) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{\|\vec{CA}\| \|\vec{CB}\|} = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\)
Таким образом, угол между векторами СА и СВ равен:
\(\arccos \left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ\)
Ответ: 60°
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.