ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 694 Атанасян — Подробные Ответы

Даны точки А (1; 3; 0), В (2; 3; -1) и С (1; 2; -1). Вычислите угол между векторами СА и СВ.

Решение:
Координаты векторов СА и СВ: СА(0; 1; 1), СВ(1; 1; 0)
Для вычисления угла между векторами СА и СВ используем формулу:
\(\cos (\vec{CA}, \vec{CB}) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{\|\vec{CA}\| \|\vec{CB}\|}\)
Вычисляя скалярное произведение и нормы векторов, получаем:
\(\cos (\vec{CA}, \vec{CB}) = \frac{0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\)
Следовательно, угол между векторами СА и СВ равен 60°.

Ответ: 60°

Дано:
Точки А(1; 3; 0), В(2; 3; -1) и С(1; 2; -1).
Требуется найти угол между векторами СА и СВ.

Решение:
Для начала найдем координаты векторов СА и СВ:
Вектор СА = (0; 1; 1)
Вектор СВ = (1; 1; 0)

Далее, для вычисления угла между двумя векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) используется формула:
\(\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}\)

Где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) — скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а \(\|\vec{a}\|\) и \(\|\vec{b}\|\) — модули (длины) векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно.

Вычислим скалярное произведение векторов СА и СВ:
\(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1\)

Вычислим модули векторов СА и СВ:
\(\|\vec{CA}\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
\(\|\vec{CB}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\)

Подставим полученные значения в формулу:
\(\cos (\vec{CA}, \vec{CB}) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{\|\vec{CA}\| \|\vec{CB}\|} = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\)

Таким образом, угол между векторами СА и СВ равен:
\(\arccos \left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ\)

Ответ: 60°