Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 693 Атанасян — Подробные Ответы
Вычислите углы между вектором а (2; 1; 2) и координатными векторами.
Решение:
Угол между вектором а(2; 1; 2) и координатными векторами можно найти по формуле:
\(\cos(\vec{a}, \vec{i}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{i}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{i}|} = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} \cdot {\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}}} = \frac{2}{{\sqrt{4 + 1 + 4}} \cdot 1} = \frac{2}{3}\)
Следовательно, \(\cos(\vec{a}, \vec{i}) = \frac{2}{3}\), и \(\vec{a}, \vec{i} = \arccos\left(\frac{2}{3}\right)\).
Аналогично:
\(\cos(\vec{a}, \vec{j}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{j}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{j}|} = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0}{{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} \cdot {\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}}} = \frac{1}{{\sqrt{4 + 1 + 4}} \cdot 1} = \frac{1}{3}\)
Следовательно, \(\cos(\vec{a}, \vec{j}) = \frac{1}{3}\), и \(\vec{a}, \vec{j} = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)\).
\(\cos(\vec{a}, \vec{k}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{k}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1}{{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} \cdot {\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}}} = \frac{2}{{\sqrt{4 + 1 + 4}} \cdot 1} = \frac{2}{3}\)
Следовательно, \(\cos(\vec{a}, \vec{k}) = \frac{2}{3}\), и \(\vec{a}, \vec{k} = \arccos\left(\frac{2}{3}\right)\).
Решение:
Для нахождения угла между вектором a(2; 1; 2) и координатными векторами i, j, k, мы можем использовать формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами:
\(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\)
Где:
— \(\vec{a}\) — вектор a(2; 1; 2)
— \(\vec{b}\) — один из координатных векторов i, j, k
Вычислим косинус угла между вектором a и каждым из координатных векторов:
1. Угол между a и i:
\(\cos(\vec{a}, \vec{i}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{i}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{i}|} = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} \cdot {\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}}} = \frac{2}{{\sqrt{4 + 1 + 4}} \cdot 1} = \frac{2}{3}\)
Следовательно, \(\vec{a}, \vec{i} = \arccos\left(\frac{2}{3}\right)\).
2. Угол между a и j:
\(\cos(\vec{a}, \vec{j}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{j}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{j}|} = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0}{{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} \cdot {\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}}} = \frac{1}{{\sqrt{4 + 1 + 4}} \cdot 1} = \frac{1}{3}\)
Следовательно, \(\vec{a}, \vec{j} = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)\).
3. Угол между a и k:
\(\cos(\vec{a}, \vec{k}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{k}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1}{{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} \cdot {\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}}} = \frac{2}{{\sqrt{4 + 1 + 4}} \cdot 1} = \frac{2}{3}\)
Следовательно, \(\vec{a}, \vec{k} = \arccos\left(\frac{2}{3}\right)\).
Таким образом, мы вычислили углы между вектором a(2; 1; 2) и каждым из координатных векторов i, j, k. Ответ совпадает с примером.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.