Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 692 Атанасян — Подробные Ответы
Вычислите угол между векторами:
а) \(\vec{a} \{2; — 2; 0\}\) и \(\vec{Б} \{3; 0; — 3\}\);
б) \(\vec{a} \{\sqrt{2}; \sqrt{2}; 2\}\) и \(\vec{-3; — 3; 0}\);
в) \(\vec{a} \{0; 5; 0\}\) и \(\vec{0; — 3; 1}\);
г) \(\vec{-2,5; 2,5; 0}\) и \(\vec{-5; 5; \frac{5}{2}}\);
д) \(\vec{-\sqrt{2}; — \sqrt{2}; — 2}\) и \(\vec{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; — 1}\).
Для нахождения угла между векторами a и b используется формула косинуса угла:
\( \cos(a, b) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} \)
где:
— \( a \cdot b \) — скалярное произведение векторов a и b
— \( |a| \) — модуль вектора a
— \( |b| \) — модуль вектора b
Рассмотрим каждый случай:
a) \( a(2; -2; 0), b(3; 0; -3) \)
\( a \cdot b = 2 \cdot 3 + (-2) \cdot 0 + 0 \cdot (-3) = 6 \)
\( |a| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
\( |b| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
\( \cos(a, b) = \frac{6}{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow 60° \)
б) \( a(\sqrt{2}; \sqrt{2}; 2), b(-3; -3; 0) \)
\( a \cdot b = \sqrt{2} \cdot (-3) + \sqrt{2} \cdot (-3) + 2 \cdot 0 = -6\sqrt{2} \)
\( |a| = \sqrt{2 + 2 + 4} = 2\sqrt{2} \)
\( |b| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
\( \cos(a, b) = \frac{-6\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{3} \Rightarrow 135° \)
в) \( a(0; 5; 0), b(0; -\sqrt{3}; 1) \)
\( a \cdot b = 0 \cdot 0 + 5 \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 1 = -5\sqrt{3} \)
\( |a| = 5 \)
\( |b| = \sqrt{4} = 2 \)
\( \cos(a, b) = \frac{-5\sqrt{3}}{5 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 150° \)
г) \( a(-2.5; 2.5; 0), b(-5; 5; 5\sqrt{2}) \)
\( a \cdot b = (-2.5)(-5) + (2.5)(5) + 0 \cdot (5\sqrt{2}) = 25 \)
\( |a| = \sqrt{12.5} = 2.5\sqrt{2} \)
\( |b| = 10 \)
\( \cos(a, b) = \frac{25}{2.5\sqrt{2} \cdot 10} = \frac{1}{2} \Rightarrow 45° \)
д) \( a(-\sqrt{2}; -\sqrt{2}; -2), b(\sqrt{2}; \sqrt{2}; -1) \)
\( a \cdot b = (-\sqrt{2})(\sqrt{2}) + (-\sqrt{2})(\sqrt{2}) + (-2)(-1) = 0 \)
\( |a| = 2\sqrt{2} \)
\( |b| = \sqrt{5} \)
\( \cos(a, b) = 0 \Rightarrow 90° \)
Ответ: выше.
Дано:
a) a(2; -2; 0), b{3; 0; -3}
б) a(√2; √2; 2], b(-3; -3; 0)
в) a(0; 5; 0), b{0; -√3; 1}
г) a(-2,5; 2,5; 0), b{-5; 5; 5√2}
д) a(-√2; -√2; -2), b(√2 √2 -1)
Найти:
Угол между векторами.
Решение:
Для нахождения угла между двумя векторами a и b используется формула косинуса угла:
\(cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}\)
где:
— \(a \cdot b\) — скалярное произведение векторов a и b
— \(|a|\) — модуль вектора a
— \(|b|\) — модуль вектора b
Рассмотрим каждый случай:
a) a(2; -2; 0), b{3; 0; -3}
— Скалярное произведение: \(a \cdot b = 2 \cdot 3 + (-2) \cdot 0 + 0 \cdot (-3) = 6\)
— Модуль вектора a: \(|a| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
— Модуль вектора b: \(|b| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 0 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
— Косинус угла: \(cos (a, b) = \frac{6}{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{2} = cos (a, b) = 60°\)
б) a(√2; √2; 2], b(-3; -3; 0)
— Скалярное произведение: \(a \cdot b = \sqrt{2} \cdot (-3) + \sqrt{2} \cdot (-3) + 2 \cdot 0 = -6\sqrt{2}\)
— Модуль вектора a: \(|a| = \sqrt{\sqrt{2}^2 + \sqrt{2}^2 + 2^2} = \sqrt{2 + 2 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
— Модуль вектора b: \(|b| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
— Косинус угла: \(cos (a, b) = \frac{-6\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{-6\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{3} = cos (a, b) = 135°\)
в) a(0; 5; 0), b{0; -√3; 1}
— Скалярное произведение: \(a \cdot b = 0 \cdot 0 + 5 \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 1 = -5\sqrt{3}\)
— Модуль вектора a: \(|a| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5\)
— Модуль вектора b: \(|b| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\)
— Косинус угла: \(cos (a, b) = \frac{-5\sqrt{3}}{5 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} = cos (a, b) = 150°\)
г) a(-2,5; 2,5; 0), b{-5; 5; 5√2}
— Скалярное произведение: \(a \cdot b = (-2,5) \cdot (-5) + 2,5 \cdot 5 + 0 \cdot 5\sqrt{2} = 12,5 + 12,5 + 0 = 25\)
— Модуль вектора a: \(|a| = \sqrt{(-2,5)^2 + 2,5^2 + 0^2} = \sqrt{6,25 + 6,25 + 0} = \sqrt{12,5} = 2,5\sqrt{2}\)
— Модуль вектора b: \(|b| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 + 25 + 50} = \sqrt{100} = 10\)
— Косинус угла: \(cos (a, b) = \frac{25}{2,5\sqrt{2} \cdot 10} = \frac{25}{25\sqrt{2}} = \frac{1}{2} = cos (a, b) = 45°\)
д) a(-√2; -√2; -2), b(√2 √2 -1)
— Скалярное произведение: \(a \cdot b = (-\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} + (-2) \cdot (-1) = -2 — 2 + 2 = 0\)
— Модуль вектора a: \(|a| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{2 + 2 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
— Модуль вектора b: \(|b| = \sqrt{\sqrt{2}^2 + \sqrt{2}^2 + (-1)^2} = \sqrt{2 + 2 + 1} = \sqrt{5}\)
— Косинус угла: \(cos (a, b) = \frac{0}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = 0 = cos (a, b) = 90°\)
Ответ: выше.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.