Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 691 Атанасян — Подробные Ответы
Даны точки А (0; 1; 2), В(\(\sqrt{2}\); 1; 2), C (\(+2\); 2; 1) и D(0; 2; 1). Докажите, что ABCD — квадрат.
Угол между векторами \(\vec{DB_1}\) и \(\vec{BC_1}\) можно найти по формуле:
\(\cos\theta = \frac{\vec{DB_1} \cdot \vec{BC_1}}{|\vec{DB_1}||\vec{BC_1}|}\)
Вычислим скалярное произведение векторов:
\(\vec{DB_1} \cdot \vec{BC_1} = (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = -2\)
Модули векторов:
\(|\vec{DB_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1\)
\(|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\)
Подставляя в формулу, получаем:
\(\cos\theta = \frac{-2}{1\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}\)
Ответ: \(\theta = \arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\).
Дано:
Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором \(AB = 1\), \(BC = CC_1 = 2\).
Требуется вычислить угол между векторами \(\vec{DB_1}\) и \(\vec{BC_1}\).
Решение:
Для вычисления угла между двумя векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) можно использовать формулу:
\(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)
где \(\theta\) — угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Вычислим необходимые величины:
1. Вектор \(\vec{DB_1}\):
\(\vec{DB_1} = (x_2 — x_1, y_2 — y_1, z_2 — z_1) = (-1, 0, 0)\)
2. Вектор \(\vec{BC_1}\):
\(\vec{BC_1} = (x_2 — x_1, y_2 — y_1, z_2 — z_1) = (0, 2, 1)\)
3. Скалярное произведение векторов \(\vec{DB_1}\) и \(\vec{BC_1}\):
\(\vec{DB_1} \cdot \vec{BC_1} = (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 0\)
4. Модуль вектора \(\vec{DB_1}\):
\(|\vec{DB_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1\)
5. Модуль вектора \(\vec{BC_1}\):
\(|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\)
Подставляя вычисленные значения в формулу, получаем:
\(\cos\theta = \frac{\vec{DB_1} \cdot \vec{BC_1}}{|\vec{DB_1}||\vec{BC_1}|} = \frac{0}{1\sqrt{5}} = 0\)
Следовательно, \(\theta = 90^\circ\).
Ответ: Угол между векторами \(\vec{DB_1}\) и \(\vec{BC_1}\) равен \(90^\circ\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.