ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 691 Атанасян — Подробные Ответы

Даны точки А (0; 1; 2), В(\(\sqrt{2}\); 1; 2), C (\(+2\); 2; 1) и D(0; 2; 1). Докажите, что ABCD — квадрат.

Угол между векторами \(\vec{DB_1}\) и \(\vec{BC_1}\) можно найти по формуле:
\(\cos\theta = \frac{\vec{DB_1} \cdot \vec{BC_1}}{|\vec{DB_1}||\vec{BC_1}|}\)
Вычислим скалярное произведение векторов:
\(\vec{DB_1} \cdot \vec{BC_1} = (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = -2\)
Модули векторов:
\(|\vec{DB_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1\)
\(|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\)
Подставляя в формулу, получаем:
\(\cos\theta = \frac{-2}{1\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}\)
Ответ: \(\theta = \arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\).

Дано:
Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором \(AB = 1\), \(BC = CC_1 = 2\).
Требуется вычислить угол между векторами \(\vec{DB_1}\) и \(\vec{BC_1}\).

Решение:
Для вычисления угла между двумя векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) можно использовать формулу:
\(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)
где \(\theta\) — угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Вычислим необходимые величины:
1. Вектор \(\vec{DB_1}\):
\(\vec{DB_1} = (x_2 — x_1, y_2 — y_1, z_2 — z_1) = (-1, 0, 0)\)

2. Вектор \(\vec{BC_1}\):
\(\vec{BC_1} = (x_2 — x_1, y_2 — y_1, z_2 — z_1) = (0, 2, 1)\)

3. Скалярное произведение векторов \(\vec{DB_1}\) и \(\vec{BC_1}\):
\(\vec{DB_1} \cdot \vec{BC_1} = (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 0\)

4. Модуль вектора \(\vec{DB_1}\):
\(|\vec{DB_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1\)

5. Модуль вектора \(\vec{BC_1}\):
\(|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\)

Подставляя вычисленные значения в формулу, получаем:
\(\cos\theta = \frac{\vec{DB_1} \cdot \vec{BC_1}}{|\vec{DB_1}||\vec{BC_1}|} = \frac{0}{1\sqrt{5}} = 0\)
Следовательно, \(\theta = 90^\circ\).

Ответ: Угол между векторами \(\vec{DB_1}\) и \(\vec{BC_1}\) равен \(90^\circ\).