Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 688 Атанасян — Подробные Ответы
Дан вектор \(\vec{a} = (3; -5; 0)\). Докажите, что: а) \(\arccos\frac{a}{|\vec{a}|} < 90^\circ\); б) \(\arccos\frac{a}{|\vec{a}|} > 90^\circ\); в) \(\arccos\frac{a}{|\vec{a}|} = 90^\circ\).
Решение:
Так как знак косинуса угла однозначно определяет угол (острый, прямой или тупой), а знак косинуса угла между векторами совпадает со знаком скалярного произведения, для доказательства достаточно посчитать скалярное произведение векторов.
a) Скалярное произведение векторов \(\vec{a} \cdot \vec{t} = 3 \cdot 1 — 5 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 3 > 0\), следовательно, угол острый.
б) Скалярное произведение векторов \(\vec{a} \cdot \vec{j} = 3 \cdot 0 — 5 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = -5 < 0\), следовательно, угол тупой. в) Скалярное произведение векторов \(\vec{a} \cdot \vec{k} = 3 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0\), следовательно, угол прямой. Ответ: Доказано.
Решение:
Дано: вектор \(\vec{a} = \{3; -5; 0\}\).
Необходимо определить угол между вектором \(\vec{a}\) и следующими векторами:
a) \(\vec{t} = \{1; 0; 0\}\)
б) \(\vec{j} = \{0; 1; 0\}\)
в) \(\vec{k} = \{0; 0; 1\}\)
Для определения угла между двумя векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) можно использовать скалярное произведение:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos \theta\)
где \(\|\vec{a}\|\) и \(\|\vec{b}\|\) — длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а \(\theta\) — угол между ними.
a) Угол между \(\vec{a}\) и \(\vec{t}\):
\(\vec{a} \cdot \vec{t} = (3)(-1) + (-5)(0) + (0)(0) = 3 > 0\)
Так как скалярное произведение положительно, угол между векторами острый, т.е. \(\theta < 90^\circ\). б) Угол между \(\vec{a}\) и \(\vec{j}\):
\(\vec{a} \cdot \vec{j} = (3)(0) + (-5)(1) + (0)(0) = -5 < 0\)
Так как скалярное произведение отрицательно, угол между векторами тупой, т.е. \(\theta > 90^\circ\).
в) Угол между \(\vec{a}\) и \(\vec{k}\):
\(\vec{a} \cdot \vec{k} = (3)(0) + (-5)(0) + (0)(1) = 0\)
Так как скалярное произведение равно нулю, угол между векторами прямой, т.е. \(\theta = 90^\circ\).
Ответ: Доказано.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.