Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 687 Атанасян — Подробные Ответы
Даны векторы \(\vec{a} = (3; -1; 1)\), \(\vec{b} = (-5; 1; 0)\) и \(\vec{c} = (-1; -2; 1)\). Выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) между векторами: а) \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\); б) \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\); в) \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\).
a · b = {3; -1; 1} {-5; 1; 0} = -3 · 5 — 1 · 1 + 1 · 0 = -16 < 0 ⇒ угол тупойб · c = {-5; 1; 0} {-1; -2; 1} = 5 · 1 - 1 · 2 + 0 · 1 = 3 > 0 ⇒ угол острыйa · c = {3; -1; 1} {-1; -2; 1} = -3 · 1 + 1 · 2 + 1 · 1 = 0 = 0 ⇒ угол прямой
Дано: векторы a = {3; -1; 1}, b = {-5; 1; 0} и c = {-1; -2; 1}.
Для определения углов между векторами используем формулу скалярного произведения:
\(a \cdot b = \sum_{i=1}^{3} a_i b_i\)
Вычислим скалярные произведения:
a · b = (3)(-5) + (-1)(1) + (1)(0) = -15 + -1 + 0 = -16
Поскольку a · b < 0, угол между векторами a и b является тупым. b · c = (-5)(1) + (1)(-2) + (0)(1) = -5 + -2 + 0 = -7 Поскольку b · c > 0, угол между векторами b и c является острым.
a · c = (3)(-1) + (-1)(2) + (1)(1) = -3 + -2 + 1 = -4
Поскольку a · c = 0, угол между векторами a и c является прямым.
Таким образом, ответ:
a · b = -16 < 0 ⇒ угол тупой
b · c = -7 > 0 ⇒ угол острый
a · c = -4 = 0 ⇒ угол прямой
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.