Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 687 Атанасян — Подробные Ответы
Даны векторы \(\vec{a} = (3; -1; 1)\), \(\vec{b} = (-5; 1; 0)\) и \(\vec{c} = (-1; -2; 1)\). Выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) между векторами: а) \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\); б) \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\); в) \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\).
a · b = {3; -1; 1} {-5; 1; 0} = -3 · 5 — 1 · 1 + 1 · 0 = -16 < 0 ⇒ угол тупойб · c = {-5; 1; 0} {-1; -2; 1} = 5 · 1 - 1 · 2 + 0 · 1 = 3 > 0 ⇒ угол острыйa · c = {3; -1; 1} {-1; -2; 1} = -3 · 1 + 1 · 2 + 1 · 1 = 0 = 0 ⇒ угол прямой
Дано: векторы a = {3; -1; 1}, b = {-5; 1; 0} и c = {-1; -2; 1}.
Для определения углов между векторами используем формулу скалярного произведения:
\(a \cdot b = \sum_{i=1}^{3} a_i b_i\)
Вычислим скалярные произведения:
a · b = (3)(-5) + (-1)(1) + (1)(0) = -15 + -1 + 0 = -16
Поскольку a · b < 0, угол между векторами a и b является тупым. b · c = (-5)(1) + (1)(-2) + (0)(1) = -5 + -2 + 0 = -7 Поскольку b · c > 0, угол между векторами b и c является острым.
a · c = (3)(-1) + (-1)(2) + (1)(1) = -3 + -2 + 1 = -4
Поскольку a · c = 0, угол между векторами a и c является прямым.
Таким образом, ответ:
a · b = -16 < 0 ⇒ угол тупой
b · c = -7 > 0 ⇒ угол острый
a · c = -4 = 0 ⇒ угол прямой
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.