Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 685 Атанасян — Подробные Ответы
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно \(a\), точка \(O_1\) — центр грани \(A_1B_1C_1D_1\). Вычислите скалярное произведение векторов: а) \(\vec{AD}\) и \(\vec{B_1C}\); б) \(\vec{AC}\) и \(\vec{CA}\); в) \(\vec{D_1B}\) и \(\vec{AC}\); г) \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC_1}\); д) \(\vec{A_1O_1}\) и \(\vec{AC_1}\); е) \(\vec{D_1O_1}\) и \(\vec{B_1O_1}\); ж) \(\vec{BO_1}\) и \(\vec{C_1B}\).
Дано векторы:
a = {1; -1; 2}
b = {-1; 1; 1}
c = {5; 6; 2}
Решение:
а) Скалярное произведение a·c = \(1\cdot 5 + (-1)\cdot 6 + 2\cdot 2 = 3\)
б) Скалярное произведение a·b = \(1\cdot (-1) + (-1)\cdot 1 + 2\cdot 1 = 0\)
в) Скалярное произведение b·c = \((-1)\cdot 5 + 1\cdot 6 + 1\cdot 2 = 3\)
г) Скалярное произведение a·a = \(1\cdot 1 + (-1)\cdot (-1) + 2\cdot 2 = 6\)
д) Длина вектора b·b = \(\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\)
Ответ: выше
Дано векторы:
a = {1; -1; 2}
b = {-1; 1; 1}
c = {5; 6; 2}
Решение:
Для нахождения скалярных произведений векторов, необходимо перемножить соответствующие координаты векторов и сложить результаты.
а) Скалярное произведение a·c:
a·c = (1·5) + (-1·6) + (2·2)
a·c = 5 + (-6) + 4
a·c = \(1\cdot 5 + (-1)\cdot 6 + 2\cdot 2 = 3\)
б) Скалярное произведение a·b:
a·b = (1·(-1)) + (-1·1) + (2·1)
a·b = -1 + (-1) + 2
a·b = \(1\cdot (-1) + (-1)\cdot 1 + 2\cdot 1 = 0\)
в) Скалярное произведение b·c:
b·c = (-1·5) + (1·6) + (1·2)
b·c = -5 + 6 + 2
b·c = \((-1)\cdot 5 + 1\cdot 6 + 1\cdot 2 = 3\)
г) Скалярное произведение a·a:
a·a = (1·1) + (-1·(-1)) + (2·2)
a·a = 1 + 1 + 4
a·a = \(1\cdot 1 + (-1)\cdot (-1) + 2\cdot 2 = 6\)
д) Длина вектора b:
|b| = \(\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\)
Ответ: выше
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.