Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 684 Атанасян — Подробные Ответы
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно \(a\), точка \(O_1\) — центр грани \(A_1B_1C_1D_1\). Вычислите скалярное произведение векторов: а) \(\vec{AD}\) и \(\vec{B_1C}\); б) \(\vec{AC}\) и \(\vec{CA}\); в) \(\vec{D_1B}\) и \(\vec{AC}\); г) \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC_1}\); д) \(\vec{A_1O_1}\) и \(\vec{AC_1}\); е) \(\vec{D_1O_1}\) и \(\vec{B_1O_1}\); ж) \(\vec{BO_1}\) и \(\vec{C_1B}\).
Решение задачи с использованием координатного метода:
1. Введем прямоугольную систему координат (ПСК) с центром в точке A(0, 0, 0) и осями, направленными вдоль ребер куба.
2. Координаты точек:
— A(0, 0, 0)
— B(a, 0, 0)
— C(a, a, 0)
— D(0, a, 0)
— A1(0, 0, a)
— B1(a, 0, a)
— C1(a, a, a)
— D1(0, a, a)
— O1(a/2, a/2, a/2)
3. Вычислим скалярные произведения векторов:
a) AD · B1C1 = (0, a, 0) · (0, a, 0) = 0 · 0 + a · a + 0 · 0 = a^2
б) AC · C1A1 = (a, a, 0) · (-a, -a, 0) = -a^2 — a^2 + 0 = -2a^2
в) D1B · AC = (a, -a, -a) · (a, a, 0) = a^2 — a^2 — a · 0 = 0
г) BA1 · BC1 = (-a, 0, a) · (0, a, a) = -a · 0 + 0 · a + a · a = a^2
д) A1O1 · A1C1 = (a/2, a/2, 0) · (a, a, 0) = a^2/2 + a^2/2 + 0 = a^2
е) D1O1 · B1O1 = (a/2, -a/2, 0) · (-a/2, -a/2, 0) = -a^2/4 — a^2/4 + 0 = -a^2/2
ж) BO1 · C1B = (-a/2, a/2, 0) · (0, -a, -a) = -a^2/2 — a^2/2 = -a^2
Ответ: вычисленные скалярные произведения векторов.
Конечно, давайте решим задачу с использованием формата LaTeX для математических формул.
Дано:
Куб ABCDA₁B₁C₁D₁
AB = a
Найдите скалярные произведения векторов:
а) AD и B₁C₁
б) AC и C₁A₁
в) D₁B и AC
г) BA₁ и BC₁
д) A₁O₁ и A₁C₁
е) D₁O₁ и B₁O₁
ж) BO₁ и C₁B
Решение:
а) AD · B₁C₁ = \((0, a, 0) \cdot (0, a, 0) = 0 \cdot 0 + a \cdot a + 0 \cdot 0 = a^2\)
б) AC · C₁A₁ = \((a, a, 0) \cdot (-a, -a, 0) = -a^2 — a^2 + 0 = -2a^2\)
в) D₁B · AC = \((a, -a, -a) \cdot (a, a, 0) = a^2 — a^2 — a \cdot 0 = 0\)
г) BA₁ · BC₁ = \((-a, 0, a) \cdot (0, a, a) = -a \cdot 0 + 0 \cdot a + a \cdot a = a^2\)
д) A₁O₁ · A₁C₁ = \(\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \cdot (a, a, 0) = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + 0 = a^2\)
е) D₁O₁ · B₁O₁ = \(\left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right) \cdot \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right) = -\frac{a^2}{4} — \frac{a^2}{4} + 0 = -\frac{a^2}{2}\)
ж) BO₁ · C₁B = \(\left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \cdot (0, -a, -a) = -\frac{a^2}{2} — \frac{a^2}{2} = -a^2\)
Ответ: вычисленные скалярные произведения векторов.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.