Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 681 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что каждое из следующих уравнений является уравнением сферы. Найдите координаты центра и радиус этой сферы: а) \(x^2 — 4x + y^2 + z^2 = 0\); б) \(x^2 + y^2 + z^2 — 2y = 24\); в) \(x^2 + 2x + y^2 + z^2 = 3\); г) \(x^2 — x + y^2 + 3y + z^2 — 2z = 2,5\).
Уравнение сферы имеет вид \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 + (z — z_0)^2 = r^2\), где \((x_0, y_0, z_0)\) — центр сферы, а \(r\) — радиус.
а) Уравнение \(x^2 — 4x + y^2 + z^2 = 0\). Выделяем полный квадрат: \(x^2 — 4x = (x — 2)^2 — 4\). Получаем \((x — 2)^2 + y^2 + z^2 = 4\). Центр: \((2, 0, 0)\), радиус: \(2\).
б) Уравнение \(x^2 + y^2 + z^2 — 2y = 24\). Выделяем полный квадрат: \(-2y = -(y — 1)^2 + 1\). Получаем \(x^2 + (y — 1)^2 + z^2 = 25\). Центр: \((0, 1, 0)\), радиус: \(5\).
в) Уравнение \(x^2 + 2x + y^2 + z^2 = 3\). Выделяем полный квадрат: \(x^2 + 2x = (x + 1)^2 — 1\). Получаем \((x + 1)^2 + y^2 + z^2 = 4\). Центр: \((-1, 0, 0)\), радиус: \(2\).
г) Уравнение \(x^2 — x + y^2 + 3y + z^2 — 2z = 2,5\). Выделяем полные квадраты: \(x^2 — x = (x — \frac{1}{2})^2 — \frac{1}{4}\), \(3y = 3(y + \frac{3}{2})^2 — \frac{9}{4}\), \(-2z = -(z — 1)^2 + 1\). Получаем \((x — \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{3}{2})^2 + (z — 1)^2 = 6\). Центр: \((\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, 1)\), радиус: \(\sqrt{6}\).
Рассмотрим каждое из уравнений по отдельности и приведем их к стандартной форме уравнения сферы. Уравнение сферы имеет вид \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 + (z — z_0)^2 = r^2\), где \((x_0, y_0, z_0)\) — координаты центра сферы, а \(r\) — радиус.
а) Уравнение \(x^2 — 4x + y^2 + z^2 = 0\).
1. Начнем с выделения полного квадрата для \(x\). Мы можем переписать \(x^2 — 4x\) в виде \((x — 2)^2 — 4\).
2. Подставим это в уравнение: \((x — 2)^2 — 4 + y^2 + z^2 = 0\).
3. Приведем уравнение к стандартной форме: \((x — 2)^2 + y^2 + z^2 = 4\).
4. Теперь видно, что центр сферы \((2, 0, 0)\) и радиус \(r = 2\).
б) Уравнение \(x^2 + y^2 + z^2 — 2y = 24\).
1. Выделим полный квадрат для \(y\). Мы можем переписать \(-2y\) как \(-(y — 1)^2 + 1\).
2. Подставим это в уравнение: \(x^2 + (y — 1)^2 — 1 + z^2 = 24\).
3. Приведем к стандартной форме: \(x^2 + (y — 1)^2 + z^2 = 25\).
4. Таким образом, центр сферы \((0, 1, 0)\) и радиус \(r = 5\).
в) Уравнение \(x^2 + 2x + y^2 + z^2 = 3\).
1. Выделим полный квадрат для \(x\). Мы можем переписать \(x^2 + 2x\) в виде \((x + 1)^2 — 1\).
2. Подставим это в уравнение: \((x + 1)^2 — 1 + y^2 + z^2 = 3\).
3. Приведем к стандартной форме: \((x + 1)^2 + y^2 + z^2 = 4\).
4. Таким образом, центр сферы \((-1, 0, 0)\) и радиус \(r = 2\).
г) Уравнение \(x^2 — x + y^2 + 3y + z^2 — 2z = 2,5\).
1. Выделим полные квадраты для \(x\), \(y\) и \(z\):
— Для \(x\): \(x^2 — x = \left(x — \frac{1}{2}\right)^2 — \frac{1}{4}\).
— Для \(y\): \(3y = 3\left(y + \frac{3}{2}\right)^2 — \frac{9}{4}\).
— Для \(z\): \(-2z = -(z — 1)^2 + 1\).
2. Подставим эти выражения в уравнение: \(\left(x — \frac{1}{2}\right)^2 — \frac{1}{4} + \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 — \frac{9}{4} + (z — 1)^2 — 1 = 2,5\).
3. Соберем все константы на правой стороне: \(\left(x — \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 + (z — 1)^2 = 2,5 + \frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1\).
4. Упрощаем правую часть: \(2,5 + 1 = 3,5\), \(\frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = 2,5\).
5. Таким образом, у нас: \(3,5 + 2,5 = 6\).
6. Теперь уравнение принимает вид: \(\left(x — \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 + (z — 1)^2 = 6\).
7. Центр сферы \(\left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, 1\right)\) и радиус \(r = \sqrt{6}\).
Таким образом, результаты для всех уравнений:
а) Центр: \((2, 0, 0)\), радиус: \(2\).
б) Центр: \((0, 1, 0)\), радиус: \(5\).
в) Центр: \((-1, 0, 0)\), радиус: \(2\).
г) Центр: \(\left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, 1\right)\), радиус: \(\sqrt{6}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.