Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 676 Атанасян — Подробные Ответы
Даны точки О (0; 0; 0), А (4; 0; 0), В (0; 6; 0), С (0; 0; -2). Найдите: а) координаты центра и радиус окружности, описанной около треугольника ДОВ; б) координаты точки, равноудаленной от вершин тетраэдра ОАВС.
Решение задачи:
а) Определение координат центра и радиуса окружности, описанной около тетраэдра ΔABC.
Заметим, что координаты вершин тетраэдра ΔABC имеют нулевую аппликату (z-координату), то есть лежат в плоскости Oxy. Следовательно, данная стереометрическая задача может быть решена в плоскости.
Пусть точка D(x, y) является центром описанной окружности. Тогда для нахождения её координат можно воспользоваться формулой для расстояния между двумя точками:
\(AB = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2}\)
Для точек A(4, 0, 0), B(0, 6, 0) и C(0, 0, -2) имеем:
\(OD = AD = BD = \sqrt{(x — 0)^2 + (y — 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}\)
\(AD = \sqrt{(x — 4)^2 + (y — 0)^2} = \sqrt{x^2 — 8x + 16 + y^2}\)
\(BD = \sqrt{(x — 0)^2 + (y — 6)^2} = \sqrt{x^2 + y^2 — 12y + 36}\)
Поскольку OD = AD = BD, можно составить уравнение:
\(x^2 + y^2 = x^2 — 8x + 16 + y^2 = x^2 + y^2 — 12y + 36\)
Решая это уравнение, получаем:
\(x = 2, y = 3\)
Таким образом, координаты центра описанной окружности: D(2, 3, 0).
Радиус окружности равен:
\(R_{ΔABC} = |OD| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\)
б) Определение координат точки, равноудалённой от вершин тетраэдра ΟABC.
Пусть точка D(x, y, z) является искомой точкой, равноудалённой от вершин тетраэдра ΟABC.
Тогда для нахождения её координат можно воспользоваться формулой для расстояния между двумя точками:
\(AB = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\)
Для точек A(4, 0, 0), B(0, 6, 0), C(0, 0, -2) и D(x, y, z) имеем:
\(OD = AD = BD = CD = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
\(AD = \sqrt{(x — 4)^2 + (y — 0)^2 + (z — 0)^2} = \sqrt{x^2 — 8x + 16 + y^2 + z^2}\)
\(BD = \sqrt{(x — 0)^2 + (y — 6)^2 + (z — 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2 — 12y + 36 + z^2}\)
\(CD = \sqrt{(x — 0)^2 + (y — 0)^2 + (z + 2)^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + 4z + 4}\)
Поскольку OD = AD = BD = CD, можно составить уравнение:
\(x^2 + y^2 + z^2 = x^2 — 8x + 16 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 — 12y + 36 + z^2 = \)
\(=x^2 + y^2 + 4z + 4\)
Решая это уравнение, получаем:
\(x = 2, y = 3, z = -1\)
Таким образом, координаты точки, равноудалённой от вершин тетраэдра ΟABC: D(2, 3, -1).
Для решения задачи о нахождении координат центра и радиуса окружности, описанной около тетраэдра ΔABC, а также координат точки, равноудалённой от вершин тетраэдра ΟABC, будем следовать следующим шагам.
Сначала определим координаты вершин тетраэдра. Пусть точки A(4, 0, 0), B(0, 6, 0) и C(0, 0, -2). Мы будем работать в плоскости Oxy, так как z-координаты вершин равны нулю.
Для нахождения координат центра описанной окружности D(x, y) будем использовать равенство расстояний от точки D до вершин A и B. Расстояние между двумя точками в плоскости определяется формулой:
\(AB = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2}\)
Сначала найдем расстояния:
\(OD = AD = BD\)
Где:
\(OD = \sqrt{x^2 + y^2}\)
\(AD = \sqrt{(x — 4)^2 + (y — 0)^2} = \sqrt{x^2 — 8x + 16 + y^2}\)
\(BD = \sqrt{(x — 0)^2 + (y — 6)^2} = \sqrt{x^2 + y^2 — 12y + 36}\)
Поскольку OD = AD = BD, составим уравнение:
\(x^2 + y^2 = x^2 — 8x + 16 + y^2\)
Упрощая, получаем:
\(0 = -8x + 16\)
Отсюда находим:
\(8x = 16 \Rightarrow x = 2\)
Теперь подставим \(x = 2\) в уравнение для \(BD\):
\(x^2 + y^2 = x^2 + y^2 — 12y + 36\)
Упрощаем:
\(0 = -12y + 36\)
Отсюда:
\(12y = 36 \Rightarrow y = 3\)
Таким образом, координаты центра описанной окружности D(2, 3, 0).
Теперь найдем радиус окружности:
\(R_{ΔABC} = |OD| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\)
Теперь перейдем ко второй части задачи — нахождению координат точки D(x, y, z), равноудалённой от вершин тетраэдра ΟABC.
Снова используем формулу для расстояния:
\(OD = AD = BD = CD\)
Где:
\(OD = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
\(AD = \sqrt{(x — 4)^2 + (y — 0)^2 + (z — 0)^2} = \sqrt{x^2 — 8x + 16 + y^2 + z^2}\)
\(BD = \sqrt{(x — 0)^2 + (y — 6)^2 + (z — 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2 — 12y + 36 + z^2}\)
\(CD = \sqrt{(x — 0)^2 + (y — 0)^2 + (z + 2)^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + 4z + 4}\)
Составим уравнения, приравнивая расстояния:
\(x^2 + y^2 + z^2 = x^2 — 8x + 16 + y^2 + z^2\)
Упрощаем:
\(0 = -8x + 16 \Rightarrow 8x = 16 \Rightarrow x = 2\)
Теперь подставим \(x = 2\) в уравнение для \(BD\):
\(x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 — 12y + 36 + z^2\)
Упрощаем:
\(0 = -12y + 36 \Rightarrow 12y = 36 \Rightarrow y = 3\)
Теперь подставим \(x = 2\) и \(y = 3\) в уравнение для \(CD\):
\(x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + 4z + 4\)
Упрощаем:
\(0 = 4z + 4 \Rightarrow 4z = -4 \Rightarrow z = -1\)
Таким образом, координаты точки D, равноудалённой от вершин тетраэдра ΟABC, равны D(2, 3, -1).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.