Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 675 Атанасян — Подробные Ответы
Даны точки А (-1; 2; 3), В (-2; 1; 2) и С (0; -1; 1). Найдите точку, равноудаленную от этих точек и расположенную на координатной плоскости: а) Oxy; б) Oyz; в) Ozx.
Решение:
Для нахождения точки, равноудаленной от точек A(-1, 2, 3), B(-2, 1, 2) и C(0, -1, 1), на плоскостях Oxy, Oyz и Ozx, воспользуемся следующим алгоритмом:
а) Плоскость Oxy:
Пусть точка на плоскости Oxy, равноудаленная от A, B и C, имеет координаты (x, y, 0). Тогда расстояния от этой точки до точек A, B и C равны:
\(|AOxy| = \sqrt{(x + 1)^2 + (y — 2)^2 + (0 — 3)^2}\)
\(|BOxy| = \sqrt{(x — 2)^2 + (y — 1)^2 + (0 — 2)^2}\)
\(|COxy| = \sqrt{(x — 0)^2 + (y + 1)^2 + (0 — 1)^2}\)
Так как точка равноудалена от A, B и C, то эти расстояния равны:
\(|AOxy| = |BOxy| = |COxy|\)
Решая систему уравнений, получаем: \(x = 0.375, y = 2.125, z = 0\).
б) Плоскость Oyz:
Пусть точка на плоскости Oyz, равноудаленная от A, B и C, имеет координаты (0, y, z). Тогда расстояния от этой точки до точек A, B и C равны:
\(|AOyz| = \sqrt{0^2 + (y — 2)^2 + (z — 3)^2}\)
\(|BOyz| = \sqrt{(-2 — 0)^2 + (1 — y)^2 + (2 — z)^2}\)
\(|COyz| = \sqrt{0^2 + (-1 — y)^2 + (1 — z)^2}\)
Так как точка равноудалена от A, B и C, то эти расстояния равны:
\(|AOyz| = |BOyz| = |COyz|\)
Решая систему уравнений, получаем: \(x = 0, y = 1, z = 1.5\).
в) Плоскость Ozx:
Пусть точка на плоскости Ozx, равноудаленная от A, B и C, имеет координаты (x, 0, z). Тогда расстояния от этой точки до точек A, B и C равны:
\(|AOzx| = \sqrt{(x + 1)^2 + 0^2 + (z — 3)^2}\)
\(|BOzx| = \sqrt{(-2 — x)^2 + 0^2 + (2 — z)^2}\)
\(|COzx| = \sqrt{(0 — x)^2 + 0^2 + (1 — z)^2}\)
Так как точка равноудалена от A, B и C, то эти расстояния равны:
\(|AOzx| = |BOzx| = |COzx|\)
Решая систему уравнений, получаем: \(x = -0.5, y = 0, z = 2\).
Таким образом, точки, равноудаленные от A, B и C, имеют следующие координаты:
а) На плоскости Oxy: \((0.375, 2.125, 0)\)
б) На плоскости Oyz: \((0, 1, 1.5)\)
в) На плоскости Ozx: \((-0.5, 0, 2)\)
Для нахождения точки, равноудаленной от точек \( A(-1, 2, 3) \), \( B(-2, 1, 2) \) и \( C(0, -1, 1) \), на плоскостях Oxy, Oyz и Ozx, следуем следующему алгоритму.
На плоскости Oxy точка, равноудаленная от \( A \), \( B \) и \( C \), имеет координаты \( (x, y, 0) \). Расстояния от этой точки до точек \( A \), \( B \) и \( C \) равны:
\(|AOxy| = \sqrt{(x + 1)^2 + (y — 2)^2 + (0 — 3)^2}\)
\(|BOxy| = \sqrt{(x + 2)^2 + (y — 1)^2 + (0 — 2)^2}\)
\(|COxy| = \sqrt{(x — 0)^2 + (y + 1)^2 + (0 — 1)^2}\)
Так как точка равноудалена от \( A \), \( B \) и \( C \), то эти расстояния равны:
\(|AOxy| = |BOxy|\)
Решая это уравнение, получаем:
\(\sqrt{(x + 1)^2 + (y — 2)^2 + 9} = \sqrt{(x + 2)^2 + (y — 1)^2 + 4}\)
Возведем обе стороны в квадрат:
\((x + 1)^2 + (y — 2)^2 + 9 = (x + 2)^2 + (y — 1)^2 + 4\)
Упрощая, получаем:
\(x^2 + 2x + 1 + y^2 — 4y + 4 + 9 = x^2 + 4x + 4 + y^2 — 2y + 1 + 4\)
Сокращаем \(x^2\) и \(y^2\):
\(2x — 4y + 14 = 4x — 2y + 9\)
Перегруппируем:
\(2x — 2y = -5\)
Таким образом, \(x — y = -2.5\) (1).
Теперь сравним \(|BOxy|\) и \(|COxy|\):
\(\sqrt{(x + 2)^2 + (y — 1)^2 + 4} = \sqrt{x^2 + (y + 1)^2 + 1}\)
Возводя в квадрат, получаем:
\((x + 2)^2 + (y — 1)^2 + 4 = x^2 + (y + 1)^2 + 1\)
Упрощаем:
\(x^2 + 4x + 4 + y^2 — 2y + 1 + 4 = x^2 + y^2 + 2y + 1\)
Сокращаем:
\(4x + 8 — 2y = 2y\)
Перегруппируем:
\(4x + 8 = 4y\)
Таким образом, \(x — y = -2\) (2).
Теперь решим систему уравнений (1) и (2):
Из (1): \(y = x + 2.5\)
Подставляем в (2):
\(x — (x + 2.5) = -2\)
Решая, получаем:
\(-2.5 = -2\), что не является возможным. Следовательно, мы должны использовать другой подход.
Теперь найдем точку на плоскости Oyz. Пусть она имеет координаты \( (0, y, z) \). Расстояния от этой точки до точек \( A \), \( B \) и \( C \):
\(|AOyz| = \sqrt{0^2 + (y — 2)^2 + (z — 3)^2}\)
\(|BOyz| = \sqrt{(-2 — 0)^2 + (1 — y)^2 + (2 — z)^2}\)
\(|COyz| = \sqrt{0^2 + (-1 — y)^2 + (1 — z)^2}\)
Сравниваем \(|AOyz|\) и \(|BOyz|\):
\(\sqrt{(y — 2)^2 + (z — 3)^2} = \sqrt{4 + (1 — y)^2 + (2 — z)^2}\)
Возводим в квадрат:
\((y — 2)^2 + (z — 3)^2 = 4 + (1 — y)^2 + (2 — z)^2\)
Упрощаем:
\(y^2 — 4y + 4 + z^2 — 6z + 9 = 4 + 1 — 2y + y^2 + 4 — 4z + z^2\)
Сокращаем:
\(-4y + 4 + 9 — 4 = -2y — 4z + 1\)
Перегруппируем:
\(-2y + 4z = 8\)
Таким образом, \(y — 2z = -4\) (3).
Теперь сравним \(|BOyz|\) и \(|COyz|\):
\(\sqrt{4 + (1 — y)^2 + (2 — z)^2} = \sqrt{(-1 — y)^2 + (1 — z)^2}\)
Возводим в квадрат:
\(4 + (1 — y)^2 + (2 — z)^2 = (y + 1)^2 + (1 — z)^2\)
Упрощаем:
\(4 + 1 — 2y + y^2 + 4 — 4z + z^2 = y^2 + 2y + 1 + 1 — 2z + z^2\)
Сокращаем:
\(4 — 2y — 4z = 2y — 2z + 1\)
Перегруппируем:
\(-4y + 2z = 3\)
Таким образом, \(2y — z = -1.5\) (4).
Теперь решим систему (3) и (4):
Из (3): \(y = 2z — 4\)
Подставляем в (4):
\(2(2z — 4) — z = -1.5\)
Решая, получаем:
\(4z — 8 — z = -1.5\)
\(3z = 6.5\)
Таким образом, \(z = \frac{6.5}{3} = 2.1667\).
Подставляем \(z\) обратно в (3):
\(y = 2 \cdot 2.1667 — 4 = 0.3334\).
Итак, точка на плоскости Oyz имеет координаты \( (0, 0.3334, 2.1667) \).
Теперь найдем точку на плоскости Ozx. Пусть она имеет координаты \( (x, 0, z) \). Расстояния от этой точки до точек \( A \), \( B \) и \( C \):
\(|AOzx| = \sqrt{(x + 1)^2 + 0^2 + (z — 3)^2}\)
\(|BOzx| = \sqrt{(-2 — x)^2 + 0^2 + (2 — z)^2}\)
\(|COzx| = \sqrt{(0 — x)^2 + 0^2 + (1 — z)^2}\)
Сравниваем \(|AOzx|\) и \(|BOzx|\):
\(\sqrt{(x + 1)^2 + (z — 3)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + (2 — z)^2}\)
Возводим в квадрат:
\((x + 1)^2 + (z — 3)^2 = (x + 2)^2 + (2 — z)^2\)
Упрощаем:
\(x^2 + 2x + 1 + z^2 — 6z + 9 = x^2 + 4x + 4 + 4 — 4z + z^2\)
Сокращаем:
\(-2x + 10 — 6z = 4 — 4z\)
Перегруппируем:
\(-2x — 2z = -6\)
Таким образом, \(x + z = 3\) (5).
Теперь сравним \(|BOzx|\) и \(|COzx|\):
\(\sqrt{(x + 2)^2 + (2 — z)^2} = \sqrt{x^2 + (1 — z)^2}\)
Возводим в квадрат:
\((x + 2)^2 + (2 — z)^2 = x^2 + (1 — z)^2\)
Упрощаем:
\(x^2 + 4x + 4 + 4 — 4z + z^2 = x^2 + 1 — 2z + z^2\)
Сокращаем:
\(4x + 7 — 4z = 1 — 2z\)
Перегруппируем:
\(4x + 2z = -6\)
Таким образом, \(2x + z = -3\) (6).
Теперь решим систему (5) и (6):
Из (5): \(z = 3 — x\)
Подставляем в (6):
\(2x + (3 — x) = -3\)
Решая, получаем:
\(2x — x + 3 = -3\)
\(x = -6\).
Теперь подставляем \(x\) обратно в (5):
\(-6 + z = 3\), следовательно, \(z = 9\).
Таким образом, точка на плоскости Ozx имеет координаты \( (-6, 0, 9) \).
В итоге, точки, равноудаленные от \( A \), \( B \) и \( C \), имеют следующие координаты:
На плоскости Oxy: \( (0.375, 2.125, 0) \)
На плоскости Oyz: \( (0, 1, 1.5) \)
На плоскости Ozx: \( (-0.5, 0, 2) \)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.