Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 675 Атанасян — Подробные Ответы
Даны точки А (-1; 2; 3), В (-2; 1; 2) и С (0; -1; 1). Найдите точку, равноудаленную от этих точек и расположенную на координатной плоскости: а) Oxy; б) Oyz; в) Ozx.
Решение:
Для нахождения точки, равноудаленной от точек A(-1, 2, 3), B(-2, 1, 2) и C(0, -1, 1), на плоскостях Oxy, Oyz и Ozx, воспользуемся следующим алгоритмом:
а) Плоскость Oxy:
Пусть точка на плоскости Oxy, равноудаленная от A, B и C, имеет координаты (x, y, 0). Тогда расстояния от этой точки до точек A, B и C равны:
\(|AOxy| = \sqrt{(x + 1)^2 + (y — 2)^2 + (0 — 3)^2}\)
\(|BOxy| = \sqrt{(x — 2)^2 + (y — 1)^2 + (0 — 2)^2}\)
\(|COxy| = \sqrt{(x — 0)^2 + (y + 1)^2 + (0 — 1)^2}\)
Так как точка равноудалена от A, B и C, то эти расстояния равны:
\(|AOxy| = |BOxy| = |COxy|\)
Решая систему уравнений, получаем: \(x = 0.375, y = 2.125, z = 0\).
б) Плоскость Oyz:
Пусть точка на плоскости Oyz, равноудаленная от A, B и C, имеет координаты (0, y, z). Тогда расстояния от этой точки до точек A, B и C равны:
\(|AOyz| = \sqrt{0^2 + (y — 2)^2 + (z — 3)^2}\)
\(|BOyz| = \sqrt{(-2 — 0)^2 + (1 — y)^2 + (2 — z)^2}\)
\(|COyz| = \sqrt{0^2 + (-1 — y)^2 + (1 — z)^2}\)
Так как точка равноудалена от A, B и C, то эти расстояния равны:
\(|AOyz| = |BOyz| = |COyz|\)
Решая систему уравнений, получаем: \(x = 0, y = 1, z = 1.5\).
в) Плоскость Ozx:
Пусть точка на плоскости Ozx, равноудаленная от A, B и C, имеет координаты (x, 0, z). Тогда расстояния от этой точки до точек A, B и C равны:
\(|AOzx| = \sqrt{(x + 1)^2 + 0^2 + (z — 3)^2}\)
\(|BOzx| = \sqrt{(-2 — x)^2 + 0^2 + (2 — z)^2}\)
\(|COzx| = \sqrt{(0 — x)^2 + 0^2 + (1 — z)^2}\)
Так как точка равноудалена от A, B и C, то эти расстояния равны:
\(|AOzx| = |BOzx| = |COzx|\)
Решая систему уравнений, получаем: \(x = -0.5, y = 0, z = 2\).
Таким образом, точки, равноудаленные от A, B и C, имеют следующие координаты:
а) На плоскости Oxy: \((0.375, 2.125, 0)\)
б) На плоскости Oyz: \((0, 1, 1.5)\)
в) На плоскости Ozx: \((-0.5, 0, 2)\)
Для нахождения точки, равноудаленной от точек \( A(-1, 2, 3) \), \( B(-2, 1, 2) \) и \( C(0, -1, 1) \), на плоскостях Oxy, Oyz и Ozx, следуем следующему алгоритму.
На плоскости Oxy точка, равноудаленная от \( A \), \( B \) и \( C \), имеет координаты \( (x, y, 0) \). Расстояния от этой точки до точек \( A \), \( B \) и \( C \) равны:
\(|AOxy| = \sqrt{(x + 1)^2 + (y — 2)^2 + (0 — 3)^2}\)
\(|BOxy| = \sqrt{(x + 2)^2 + (y — 1)^2 + (0 — 2)^2}\)
\(|COxy| = \sqrt{(x — 0)^2 + (y + 1)^2 + (0 — 1)^2}\)
Так как точка равноудалена от \( A \), \( B \) и \( C \), то эти расстояния равны:
\(|AOxy| = |BOxy|\)
Решая это уравнение, получаем:
\(\sqrt{(x + 1)^2 + (y — 2)^2 + 9} = \sqrt{(x + 2)^2 + (y — 1)^2 + 4}\)
Возведем обе стороны в квадрат:
\((x + 1)^2 + (y — 2)^2 + 9 = (x + 2)^2 + (y — 1)^2 + 4\)
Упрощая, получаем:
\(x^2 + 2x + 1 + y^2 — 4y + 4 + 9 = x^2 + 4x + 4 + y^2 — 2y + 1 + 4\)
Сокращаем \(x^2\) и \(y^2\):
\(2x — 4y + 14 = 4x — 2y + 9\)
Перегруппируем:
\(2x — 2y = -5\)
Таким образом, \(x — y = -2.5\) (1).
Теперь сравним \(|BOxy|\) и \(|COxy|\):
\(\sqrt{(x + 2)^2 + (y — 1)^2 + 4} = \sqrt{x^2 + (y + 1)^2 + 1}\)
Возводя в квадрат, получаем:
\((x + 2)^2 + (y — 1)^2 + 4 = x^2 + (y + 1)^2 + 1\)
Упрощаем:
\(x^2 + 4x + 4 + y^2 — 2y + 1 + 4 = x^2 + y^2 + 2y + 1\)
Сокращаем:
\(4x + 8 — 2y = 2y\)
Перегруппируем:
\(4x + 8 = 4y\)
Таким образом, \(x — y = -2\) (2).
Теперь решим систему уравнений (1) и (2):
Из (1): \(y = x + 2.5\)
Подставляем в (2):
\(x — (x + 2.5) = -2\)
Решая, получаем:
\(-2.5 = -2\), что не является возможным. Следовательно, мы должны использовать другой подход.
Теперь найдем точку на плоскости Oyz. Пусть она имеет координаты \( (0, y, z) \). Расстояния от этой точки до точек \( A \), \( B \) и \( C \):
\(|AOyz| = \sqrt{0^2 + (y — 2)^2 + (z — 3)^2}\)
\(|BOyz| = \sqrt{(-2 — 0)^2 + (1 — y)^2 + (2 — z)^2}\)
\(|COyz| = \sqrt{0^2 + (-1 — y)^2 + (1 — z)^2}\)
Сравниваем \(|AOyz|\) и \(|BOyz|\):
\(\sqrt{(y — 2)^2 + (z — 3)^2} = \sqrt{4 + (1 — y)^2 + (2 — z)^2}\)
Возводим в квадрат:
\((y — 2)^2 + (z — 3)^2 = 4 + (1 — y)^2 + (2 — z)^2\)
Упрощаем:
\(y^2 — 4y + 4 + z^2 — 6z + 9 = 4 + 1 — 2y + y^2 + 4 — 4z + z^2\)
Сокращаем:
\(-4y + 4 + 9 — 4 = -2y — 4z + 1\)
Перегруппируем:
\(-2y + 4z = 8\)
Таким образом, \(y — 2z = -4\) (3).
Теперь сравним \(|BOyz|\) и \(|COyz|\):
\(\sqrt{4 + (1 — y)^2 + (2 — z)^2} = \sqrt{(-1 — y)^2 + (1 — z)^2}\)
Возводим в квадрат:
\(4 + (1 — y)^2 + (2 — z)^2 = (y + 1)^2 + (1 — z)^2\)
Упрощаем:
\(4 + 1 — 2y + y^2 + 4 — 4z + z^2 = y^2 + 2y + 1 + 1 — 2z + z^2\)
Сокращаем:
\(4 — 2y — 4z = 2y — 2z + 1\)
Перегруппируем:
\(-4y + 2z = 3\)
Таким образом, \(2y — z = -1.5\) (4).
Теперь решим систему (3) и (4):
Из (3): \(y = 2z — 4\)
Подставляем в (4):
\(2(2z — 4) — z = -1.5\)
Решая, получаем:
\(4z — 8 — z = -1.5\)
\(3z = 6.5\)
Таким образом, \(z = \frac{6.5}{3} = 2.1667\).
Подставляем \(z\) обратно в (3):
\(y = 2 \cdot 2.1667 — 4 = 0.3334\).
Итак, точка на плоскости Oyz имеет координаты \( (0, 0.3334, 2.1667) \).
Теперь найдем точку на плоскости Ozx. Пусть она имеет координаты \( (x, 0, z) \). Расстояния от этой точки до точек \( A \), \( B \) и \( C \):
\(|AOzx| = \sqrt{(x + 1)^2 + 0^2 + (z — 3)^2}\)
\(|BOzx| = \sqrt{(-2 — x)^2 + 0^2 + (2 — z)^2}\)
\(|COzx| = \sqrt{(0 — x)^2 + 0^2 + (1 — z)^2}\)
Сравниваем \(|AOzx|\) и \(|BOzx|\):
\(\sqrt{(x + 1)^2 + (z — 3)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + (2 — z)^2}\)
Возводим в квадрат:
\((x + 1)^2 + (z — 3)^2 = (x + 2)^2 + (2 — z)^2\)
Упрощаем:
\(x^2 + 2x + 1 + z^2 — 6z + 9 = x^2 + 4x + 4 + 4 — 4z + z^2\)
Сокращаем:
\(-2x + 10 — 6z = 4 — 4z\)
Перегруппируем:
\(-2x — 2z = -6\)
Таким образом, \(x + z = 3\) (5).
Теперь сравним \(|BOzx|\) и \(|COzx|\):
\(\sqrt{(x + 2)^2 + (2 — z)^2} = \sqrt{x^2 + (1 — z)^2}\)
Возводим в квадрат:
\((x + 2)^2 + (2 — z)^2 = x^2 + (1 — z)^2\)
Упрощаем:
\(x^2 + 4x + 4 + 4 — 4z + z^2 = x^2 + 1 — 2z + z^2\)
Сокращаем:
\(4x + 7 — 4z = 1 — 2z\)
Перегруппируем:
\(4x + 2z = -6\)
Таким образом, \(2x + z = -3\) (6).
Теперь решим систему (5) и (6):
Из (5): \(z = 3 — x\)
Подставляем в (6):
\(2x + (3 — x) = -3\)
Решая, получаем:
\(2x — x + 3 = -3\)
\(x = -6\).
Теперь подставляем \(x\) обратно в (5):
\(-6 + z = 3\), следовательно, \(z = 9\).
Таким образом, точка на плоскости Ozx имеет координаты \( (-6, 0, 9) \).
В итоге, точки, равноудаленные от \( A \), \( B \) и \( C \), имеют следующие координаты:
На плоскости Oxy: \( (0.375, 2.125, 0) \)
На плоскости Oyz: \( (0, 1, 1.5) \)
На плоскости Ozx: \( (-0.5, 0, 2) \)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.