Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 674 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите точку, равноудаленную от точек А (-2; 3; 5) и В (3; 2; -3) и расположенную на оси: а) Ох; б) Оу; в) Оz.
Решение:
а) Точка, равноудаленная от A и B и расположенная на оси Ox, имеет координаты: \(x = -1,6; y = 0; z = 0\).
б) Точка, равноудаленная от A и B и расположенная на оси Oy, имеет координаты: \(x = 0; y = 8; z = 0\).
в) Точка, равноудаленная от A и B и расположенная на оси Oz, имеет координаты: \(x = 0; y = 0; z = 1\).
Ответ: \(x = -1,6; y = 8; z = 1\)
Дано:
A(-2; 3; 5)
B(3; 2; -3)
Найдем точку, равноудаленную от точек A и B, и расположенную:
а) на оси Ox
б) на оси Oy
в) на оси Oz
а) Для нахождения точки, равноудаленной от A и B и расположенной на оси Ox, будем искать точку Ox(x; 0; 0). Расстояние от точки Ox до точек A и B вычисляется по формуле:
\(|AB| = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\)
Подставляя координаты точек A и B, получаем:
\(|AOx| = \sqrt{(x + 2)^2 + (0 — 3)^2 + (0 — 5)^2} = \sqrt{x^2 + 4x + 38}\)
\(|OxB| = \sqrt{(3 — x)^2 + (2 — 0)^2 + (-3 — 0)^2} = \sqrt{x^2 — 6x + 22}\)
Так как точка Ox должна быть равноудалена от A и B, то \(|AOx| = |OxB|\), откуда:
\(x^2 + 4x + 38 = x^2 — 6x + 22\)
Решая это уравнение, получаем \(x = -1,6\).
б) Для нахождения точки, равноудаленной от A и B и расположенной на оси Oy, будем искать точку Oy(0; y; 0). Расстояние от точки Oy до точек A и B вычисляется по формуле:
\(|AB| = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\)
Подставляя координаты точек A и B, получаем:
\(|AOy| = \sqrt{(0 + 2)^2 + (y — 3)^2 + (0 — 5)^2} = \sqrt{y^2 — 6y + 38}\)
\(|OyB| = \sqrt{(3 — 0)^2 + (2 — y)^2 + (-3 — 0)^2} = \sqrt{y^2 — 4y + 22}\)
Так как точка Oy должна быть равноудалена от A и B, то \(|AOy| = |OyB|\), откуда:
\(y^2 — 6y + 38 = y^2 — 4y + 22\)
Решая это уравнение, получаем \(y = 8\).
в) Для нахождения точки, равноудаленной от A и B и расположенной на оси Oz, будем искать точку Oz(0; 0; z). Расстояние от точки Oz до точек A и B вычисляется по формуле:
\(|AB| = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\)
Подставляя координаты точек A и B, получаем:
\(|AOz| = \sqrt{(0 + 2)^2 + (0 — 3)^2 + (z — 5)^2} = \sqrt{z^2 — 10z + 38}\)
\(|OzB| = \sqrt{(3 — 0)^2 + (2 — 0)^2 + (-3 — z)^2} = \sqrt{z^2 + 6z + 22}\)
Так как точка Oz должна быть равноудалена от A и B, то \(|AOz| = |OzB|\), откуда:
\(z^2 — 10z + 38 = z^2 + 6z + 22\)
Решая это уравнение, получаем \(z = 1\).
Ответ: Точки, равноудаленные от A и B и расположенные на осях координат, имеют следующие координаты:
а) на оси Ox: \(x = -1,6; y = 0; z = 0\)
б) на оси Oy: \(x = 0; y = 8; z = 0\)
в) на оси Oz: \(x = 0; y = 0; z = 1\)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.