Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 672 Атанасян — Подробные Ответы
Даны точки А (1; 0; k), В (-1; 2; 3) и С (0; 0; 1). При каких значениях k треугольник АВС является равнобедренным?
Решение:
Для того, чтобы треугольник АВС был равнобедренным, необходимо, чтобы две его стороны были равны. Воспользуемся формулой для вычисления длины стороны треугольника:
\(|AB| = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\)
\(|AC| = \sqrt{(x_C — x_A)^2 + (y_C — y_A)^2 + (z_C — z_A)^2}\)
\(|BC| = \sqrt{(x_C — x_B)^2 + (y_C — y_B)^2 + (z_C — z_B)^2}\)
Подставляя координаты точек, получаем:
\(|AB| = \sqrt{(-1 — 1)^2 + (2 — 0)^2 + (3 — k)^2} = \sqrt{17 — 6 \cdot k + k^2}\)
\(|AC| = \sqrt{(0 — 1)^2 + (0 — 0)^2 + (1 — k)^2} = \sqrt{2 — 2 \cdot k + k^2}\)
\(|BC| = \sqrt{(0 — (-1))^2 + (0 — 2)^2 + (1 — 3)^2} = \sqrt{9} = 3\)
Для того, чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы \(|AB| = |AC|\). Приравняв эти выражения, получаем:
\(\sqrt{17 — 6 \cdot k + k^2} = \sqrt{2 — 2 \cdot k + k^2}\)
Решая это уравнение, получаем:
\(k = \{1 — 2 \cdot \sqrt{2}, 2, 3.75, 1 + 2 \cdot \sqrt{2}, 4\}\)
Ответ: \(k = \{1 — 2 \cdot \sqrt{2}, 2, 3.75, 1 + 2 \cdot \sqrt{2}, 4\}\)
Решение:
Для того, чтобы определить, при каких значениях k треугольник АВС является равнобедренным, необходимо найти длины сторон треугольника и проверить, выполняется ли условие равенства двух сторон.
Дано:
Точки A(1, 0, k), B(-1, 2, 3) и C(0, 0, 1).
Шаг 1. Вычислим длину стороны AB.
Длина стороны AB вычисляется по формуле:
\(|AB| = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\)
Подставляя координаты точек A и B, получаем:
\(|AB| = \sqrt{(-1 — 1)^2 + (2 — 0)^2 + (3 — k)^2}\)
\(|AB| = \sqrt{4 + 4 + (3 — k)^2}\)
\(|AB| = \sqrt{17 — 6k + k^2}\)
Шаг 2. Вычислим длину стороны AC.
Длина стороны AC вычисляется по формуле:
\(|AC| = \sqrt{(x_C — x_A)^2 + (y_C — y_A)^2 + (z_C — z_A)^2}\)
Подставляя координаты точек A и C, получаем:
\(|AC| = \sqrt{(0 — 1)^2 + (0 — 0)^2 + (1 — k)^2}\)
\(|AC| = \sqrt{1 + 0 + (1 — k)^2}\)
\(|AC| = \sqrt{2 — 2k + k^2}\)
Шаг 3. Вычислим длину стороны BC.
Длина стороны BC вычисляется по формуле:
\(|BC| = \sqrt{(x_C — x_B)^2 + (y_C — y_B)^2 + (z_C — z_B)^2}\)
Подставляя координаты точек B и C, получаем:
\(|BC| = \sqrt{(0 — (-1))^2 + (0 — 2)^2 + (1 — 3)^2}\)
\(|BC| = \sqrt{1 + 4 + 4}\)
\(|BC| = \sqrt{9}\)
\(|BC| = 3\)
Шаг 4. Проверим условие равенства двух сторон треугольника.
Для того, чтобы треугольник АВС был равнобедренным, необходимо, чтобы выполнялось условие:
\(|AB| = |AC|\)
Подставляя выражения для длин сторон, получаем:
\(\sqrt{17 — 6k + k^2} = \sqrt{2 — 2k + k^2}\)
Шаг 5. Решим полученное уравнение.
Возводя обе части в квадрат, получаем:
\(17 — 6k + k^2 = 2 — 2k + k^2\)
\(15 = -4k\)
\(k = -\frac{15}{4} = -3.75\)
Таким образом, треугольник АВС является равнобедренным при \(k = -3.75\).
Ответ: Треугольник АВС является равнобедренным при \(k = -3.75\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.