ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 672 Атанасян — Подробные Ответы

Даны точки А (1; 0; k), В (-1; 2; 3) и С (0; 0; 1). При каких значениях k треугольник АВС является равнобедренным?

Решение:

Для того, чтобы треугольник АВС был равнобедренным, необходимо, чтобы две его стороны были равны. Воспользуемся формулой для вычисления длины стороны треугольника:

\(|AB| = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\)
\(|AC| = \sqrt{(x_C — x_A)^2 + (y_C — y_A)^2 + (z_C — z_A)^2}\)
\(|BC| = \sqrt{(x_C — x_B)^2 + (y_C — y_B)^2 + (z_C — z_B)^2}\)

Подставляя координаты точек, получаем:
\(|AB| = \sqrt{(-1 — 1)^2 + (2 — 0)^2 + (3 — k)^2} = \sqrt{17 — 6 \cdot k + k^2}\)
\(|AC| = \sqrt{(0 — 1)^2 + (0 — 0)^2 + (1 — k)^2} = \sqrt{2 — 2 \cdot k + k^2}\)
\(|BC| = \sqrt{(0 — (-1))^2 + (0 — 2)^2 + (1 — 3)^2} = \sqrt{9} = 3\)

Для того, чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы \(|AB| = |AC|\). Приравняв эти выражения, получаем:
\(\sqrt{17 — 6 \cdot k + k^2} = \sqrt{2 — 2 \cdot k + k^2}\)

Решая это уравнение, получаем:
\(k = \{1 — 2 \cdot \sqrt{2}, 2, 3.75, 1 + 2 \cdot \sqrt{2}, 4\}\)

Ответ: \(k = \{1 — 2 \cdot \sqrt{2}, 2, 3.75, 1 + 2 \cdot \sqrt{2}, 4\}\)

Решение:

Для того, чтобы определить, при каких значениях k треугольник АВС является равнобедренным, необходимо найти длины сторон треугольника и проверить, выполняется ли условие равенства двух сторон.

Дано:
Точки A(1, 0, k), B(-1, 2, 3) и C(0, 0, 1).

Шаг 1. Вычислим длину стороны AB.
Длина стороны AB вычисляется по формуле:
\(|AB| = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\)
Подставляя координаты точек A и B, получаем:
\(|AB| = \sqrt{(-1 — 1)^2 + (2 — 0)^2 + (3 — k)^2}\)
\(|AB| = \sqrt{4 + 4 + (3 — k)^2}\)
\(|AB| = \sqrt{17 — 6k + k^2}\)

Шаг 2. Вычислим длину стороны AC.
Длина стороны AC вычисляется по формуле:
\(|AC| = \sqrt{(x_C — x_A)^2 + (y_C — y_A)^2 + (z_C — z_A)^2}\)
Подставляя координаты точек A и C, получаем:
\(|AC| = \sqrt{(0 — 1)^2 + (0 — 0)^2 + (1 — k)^2}\)
\(|AC| = \sqrt{1 + 0 + (1 — k)^2}\)
\(|AC| = \sqrt{2 — 2k + k^2}\)

Шаг 3. Вычислим длину стороны BC.
Длина стороны BC вычисляется по формуле:
\(|BC| = \sqrt{(x_C — x_B)^2 + (y_C — y_B)^2 + (z_C — z_B)^2}\)
Подставляя координаты точек B и C, получаем:
\(|BC| = \sqrt{(0 — (-1))^2 + (0 — 2)^2 + (1 — 3)^2}\)
\(|BC| = \sqrt{1 + 4 + 4}\)
\(|BC| = \sqrt{9}\)
\(|BC| = 3\)

Шаг 4. Проверим условие равенства двух сторон треугольника.
Для того, чтобы треугольник АВС был равнобедренным, необходимо, чтобы выполнялось условие:
\(|AB| = |AC|\)
Подставляя выражения для длин сторон, получаем:
\(\sqrt{17 — 6k + k^2} = \sqrt{2 — 2k + k^2}\)

Шаг 5. Решим полученное уравнение.
Возводя обе части в квадрат, получаем:
\(17 — 6k + k^2 = 2 — 2k + k^2\)
\(15 = -4k\)
\(k = -\frac{15}{4} = -3.75\)

Таким образом, треугольник АВС является равнобедренным при \(k = -3.75\).

Ответ: Треугольник АВС является равнобедренным при \(k = -3.75\).