Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 670 Атанасян — Подробные Ответы
На каждой из координатных плоскостей найдите такую точку, расстояние от которой до точки А (-1; 2; -3) является наименьшим среди всех расстояний от точек этой координатной плоскости до точки А.
Решение:
На плоскости XY проекция точки А имеет координаты \(A_{xy}(-1, 2, 0)\). Следовательно, ближайшая к ней точка на этой плоскости — \(A_{xy}(-1, 2, 0)\).
На плоскости XZ проекция точки А имеет координаты \(A_{xz}(-1, 0, -3)\). Следовательно, ближайшая к ней точка на этой плоскости — \(A_{xz}(-1, 0, -3)\).
На плоскости YZ проекция точки А имеет координаты \(A_{yz}(0, 2, -3)\). Следовательно, ближайшая к ней точка на этой плоскости — \(A_{yz}(0, 2, -3)\).
Решение:
Для нахождения точек на каждой из координатных плоскостей, расстояние от которых до заданной точки А(-1, 2, -3) является минимальным, необходимо использовать следующий алгоритм:
1. Рассмотрим плоскость XY. Проекция точки А на эту плоскость имеет координаты \(A_{xy}(-1, 2, 0)\). Расстояние от точки \(A_{xy}\) до точки А вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:
\(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2}\)
Подставляя координаты, получаем:
\(d = \sqrt{(-1 — (-1))^2 + (2 — 2)^2 + (0 — (-3))^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + 3^2} = 3\)
Таким образом, ближайшая к точке А точка на плоскости XY — это сама точка \(A_{xy}(-1, 2, 0)\).
2. Рассмотрим плоскость XZ. Проекция точки А на эту плоскость имеет координаты \(A_{xz}(-1, 0, -3)\). Расстояние от точки \(A_{xz}\) до точки А вычисляется аналогично:
\(d = \sqrt{(-1 — (-1))^2 + (0 — 2)^2 + (-3 — (-3))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2 + 0^2} = 4\)
Следовательно, ближайшая к точке А точка на плоскости XZ — это сама точка \(A_{xz}(-1, 0, -3)\).
3. Рассмотрим плоскость YZ. Проекция точки А на эту плоскость имеет координаты \(A_{yz}(0, 2, -3)\). Расстояние от точки \(A_{yz}\) до точки А вычисляется аналогично:
\(d = \sqrt{(0 — (-1))^2 + (2 — 2)^2 + (-3 — (-3))^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1\)
Таким образом, ближайшая к точке А точка на плоскости YZ — это сама точка \(A_{yz}(0, 2, -3)\).
Ответ: представлен на рисунке.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.