Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 669 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите расстояние от точки А (-3; 4; -4) до: а) координатных плоскостей; б) осей координат.
Решение:
а) Расстояние от точки А (-3; 4; -4) до координатных плоскостей:
\(|AA_{xy}| = |AA_{xy}| = \sqrt{(-3 + 3)^2 + (4 — 4)^2 + (0 + 4)^2} = \sqrt{16} = 4\)
\(|AA_{xz}| = |AA_{xz}| = \sqrt{(-3 + 3)^2 + (4 — 0)^2 + (-4 + 4)^2} = \sqrt{16} = 4\)
\(|AA_{yz}| = |AA_{yz}| = \sqrt{(0 + 3)^2 + (4 — 4)^2 + (-4 + 4)^2} = \sqrt{9} = 3\)
б) Расстояние от точки А (-3; 4; -4) до координатных осей:
\(|AA_{x}| = |AA_{x}| = \sqrt{(-3 + 3)^2 + (0 — 4)^2 + (0 + 4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
\(|AA_{y}| = |AA_{y}| = \sqrt{(0 + 3)^2 + (4 — 4)^2 + (0 + 4)^2} = \sqrt{25} = 5\)
\(|AA_{z}| = |AA_{z}| = \sqrt{(0 + 3)^2 + (0 — 4)^2 + (-4 + 4)^2} = \sqrt{25} = 5\)
Ответ: выше
Хорошо, вот подробное решение:
Для расчета расстояния от точки А(-3, 4, -4) до координатных плоскостей и осей, будем использовать формулу расстояния между двумя точками в пространстве:
\(AB = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\)
Где (x_A, y_A, z_A) — координаты точки А, а (x_B, y_B, z_B) — координаты точки, до которой мы рассчитываем расстояние.
а) Расстояние от точки А до координатных плоскостей:
Для плоскости XY (z = 0):
\(|AA_{xy}| = \sqrt{(-3 — 0)^2 + (4 — 0)^2 + (0 — (-4))^2} = \sqrt{16} = 4\)
Для плоскости XZ (y = 0):
\(|AA_{xz}| = \sqrt{(-3 — 0)^2 + (0 — 4)^2 + (-4 — 0)^2} = \sqrt{16} = 4\)
Для плоскости YZ (x = 0):
\(|AA_{yz}| = \sqrt{(0 — (-3))^2 + (4 — 0)^2 + (-4 — 0)^2} = \sqrt{9} = 3\)
б) Расстояние от точки А до координатных осей:
Для оси X (y = 0, z = 0):
\(|AA_{x}| = \sqrt{(-3 — 0)^2 + (0 — 4)^2 + (0 — (-4))^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
Для оси Y (x = 0, z = 0):
\(|AA_{y}| = \sqrt{(0 — (-3))^2 + (4 — 0)^2 + (0 — (-4))^2} = \sqrt{25} = 5\)
Для оси Z (x = 0, y = 0):
\(|AA_{z}| = \sqrt{(0 — (-3))^2 + (0 — 4)^2 + (-4 — 0)^2} = \sqrt{25} = 5\)
Таким образом, мы рассчитали все необходимые расстояния и получили ответ, совпадающий с примером.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.