Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 668 Атанасян — Подробные Ответы
Определите вид треугольника АВС, если: а) А (9; 3; -5), В (2; 10; -5), С (2; 3; 2); б) А (3; 7; -4), В(5; -3; 2), С (1; 3; -10); в) А (5; -5; -1), В (5; -3; -1), С (4; -3; 0); г) А (-5; 2; 0), В(-4; 3; 0), С(-5; 2; -2).
Решение:
а) Треугольник ABC является равносторонним, так как \(|AB| = |AC| = |BC| = 7\sqrt{2}\).
б) Треугольник ABC является прямоугольным, с прямым углом в вершине А, так как \(|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2\).
в) Треугольник ABC является равнобедренным, так как \(|AB| = |BC| \neq |AC|\).
г) Треугольник ABC является прямоугольным, с прямым углом в вершине А, так как \(|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2\).
Решение:
Для определения вида треугольника ABC, мы будем использовать формулу для расчета длины стороны треугольника:
\(|AB| = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\)
а) Для точек A(9, 3, -5), B(2, 10, -5) и C(2, 3, 2) вычислим длины сторон:
\(|AB| = \sqrt{(2 — 9)^2 + (10 — 3)^2 + (-5 — (-5))^2} = \sqrt{49 + 49 + 0} = 7\sqrt{2}\)
\(|AC| = \sqrt{(2 — 9)^2 + (3 — 3)^2 + (2 — (-5))^2} = \sqrt{49 + 0 + 49} = 7\sqrt{2}\)
\(|BC| = \sqrt{(2 — 2)^2 + (3 — 10)^2 + (2 — (-5))^2} = \sqrt{0 + 49 + 49} = 7\sqrt{2}\)
Так как все стороны равны, треугольник ABC является равносторонним.
б) Для точек A(3, 7, -4), B(5, -3, 2) и C(1, 3, -10) вычислим длины сторон:
\(|AB| = \sqrt{(5 — 3)^2 + (-3 — 7)^2 + (2 — (-4))^2} = \sqrt{4 + 100 + 36} = \sqrt{140} =\)
\(= 2\sqrt{35}\)
\(|AC| = \sqrt{(1 — 3)^2 + (3 — 7)^2 + (-10 — (-4))^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56} =\)
\(= 2\sqrt{14}\)
\(|BC| = \sqrt{(5 — 1)^2 + (-3 — 3)^2 + (2 — (-10))^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} =\)
\(= \sqrt{196} = 14\)
Так как \(|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2\), треугольник ABC является прямоугольным, с прямым углом в вершине A.
в) Для точек A(5, -5, -1), B(5, -3, -1) и C(4, -3, 0) вычислим длины сторон:
\(|AB| = \sqrt{(5 — 5)^2 + (-3 — (-5))^2 + (-1 — (-1))^2} = \sqrt{0 + 4 + 0} = 2\)
\(|AC| = \sqrt{(4 — 5)^2 + (-3 — (-5))^2 + (0 — (-1))^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}\)
\(|BC| = \sqrt{(5 — 4)^2 + (-3 — (-3))^2 + (-1 — 0)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\)
Так как |AB| = |BC| ≠ |AC|, треугольник ABC является равнобедренным.
г) Для точек A(-5, 2, 0), B(-4, 3, 0) и C(-5, 2, -2) вычислим длины сторон:
\(|AB| = \sqrt{(-4 — (-5))^2 + (3 — 2)^2 + (0 — 0)^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}\)
\(|AC| = \sqrt{(-5 — (-5))^2 + (2 — 2)^2 + (-2 — 0)^2} = \sqrt{0 + 0 + 4} = 2\)
\(|BC| = \sqrt{(-4 — (-5))^2 + (3 — 2)^2 + (0 — (-2))^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}\)
Так как \(|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2\), треугольник ABC является прямоугольным, с прямым углом в вершине A.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.