Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 667 Атанасян — Подробные Ответы
Даны точки \(\vec{A} (3; 1; -2)\), В (2; 2; -3) и С(2; 0; -1). Найдите: а) периметр треугольника АВС; б) медианы треугольника АВС.
Решение:
Длина треугольника ΔАВС вычисляется по формуле: \(P_{\Delta ABC} = |AB| + |BC| + |CA|\), где \(|AB| = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\),
\(|BC| = \sqrt{(x_C — x_B)^2 + (y_C — y_B)^2 + (z_C — z_B)^2}\),
\(|CA| = \sqrt{(x_A — x_C)^2 + (y_A — y_C)^2 + (z_A — z_C)^2}\).
Подставляя координаты вершин, получаем: \(P_{\Delta ABC} = \sqrt{0.5^2 + 1^2 + 1^2} + \sqrt{0.5^2 + 1^2 + 1^2} + \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = 3 + 2\sqrt{2}\).
Длины медиан вычисляются по формулам: \(|AM_A| = \sqrt{0.5^2 + 0^2 + 0^2} = 0.5\), \(|BM_B| = \sqrt{0.25^2 + 1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{0.25^2 + 4.5} = \frac{1 + 72}{4}\), \(|CM_C| = \sqrt{0.25^2 + 1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{0.25^2 + 4.5} = \frac{1 + 72}{4}\).
Дано: треугольник ΔАВС с вершинами A(5, 1, -2), B(2, 2, -3) и C(2, 0, -1).
Решение:
1. Вычислим длины сторон треугольника ΔАВС:
— Длина стороны AB: \(|AB| = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + (-1)^2} =\)
\( =\sqrt{10} = \sqrt{0.5^2 + 1^2 + 1^2}\)
— Длина стороны BC: \(|BC| = \sqrt{(x_C — x_B)^2 + (y_C — y_B)^2 + (z_C — z_B)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2} =\)
\( = \sqrt{10} = \sqrt{0.5^2 + 1^2 + 1^2}\)
— Длина стороны CA: \(|CA| = \sqrt{(x_A — x_C)^2 + (y_A — y_C)^2 + (z_A — z_C)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-1)^2} =\)
\( = \sqrt{11} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}\)
2. Вычислим периметр треугольника ΔАВС:
\(P_{\Delta ABC} = |AB| + |BC| + |CA| = \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{11} = 3 + 2\sqrt{2}\)
3. Вычислим координаты середин медиан треугольника ΔАВС:
— Середина медианы AM: \(M_A = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right) = (2, 1, -2)\)
— Середина медианы BM: \(M_B = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2}\right) = (1.75, 0.5, -1.5)\)
— Середина медианы CM: \(M_C = \left(\frac{x_C + x_A}{2}, \frac{y_C + y_A}{2}, \frac{z_C + z_A}{2}\right) = (1.75, 1.5, -2.5)\)
4. Вычислим длины медиан треугольника ΔАВС:
— Длина медианы AM: \(|AM_{A}| = \sqrt{(x_A — x_{M_A})^2 + (y_A — y_{M_A})^2 + (z_A — z_{M_A})^2} =\)
\( = \sqrt{0.5^2 + 0^2 + 0^2} = 0.5\)
— Длина медианы BM: \(|BM_{B}| = \sqrt{(x_B — x_{M_B})^2 + (y_B — y_{M_B})^2 + (z_B — z_{M_B})^2} =\)
\( = \sqrt{0.25^2 + 1.5^2 + 1.5^2} = \frac{1 + 72}{4}\)
— Длина медианы CM: \(|CM_{C}| = \sqrt{(x_C — x_{M_C})^2 + (y_C — y_{M_C})^2 + (z_C — z_{M_C})^2} =\)
\( = \sqrt{0.25^2 + 1.5^2 + 1.5^2} = \frac{1 + 72}{4}\)
Ответ: Периметр треугольника ΔАВС равен \(3 + 2\sqrt{2}\), длины медиан равны \(0.5\), \(\frac{1 + 72}{4}\) и \(\frac{1 + 72}{4}\) соответственно.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.