ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 667 Атанасян — Подробные Ответы

Даны точки \(\vec{A} (3; 1; -2)\), В (2; 2; -3) и С(2; 0; -1). Найдите: а) периметр треугольника АВС; б) медианы треугольника АВС.

Решение:
Длина треугольника ΔАВС вычисляется по формуле: \(P_{\Delta ABC} = |AB| + |BC| + |CA|\), где \(|AB| = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\),
\(|BC| = \sqrt{(x_C — x_B)^2 + (y_C — y_B)^2 + (z_C — z_B)^2}\),
\(|CA| = \sqrt{(x_A — x_C)^2 + (y_A — y_C)^2 + (z_A — z_C)^2}\).
Подставляя координаты вершин, получаем: \(P_{\Delta ABC} = \sqrt{0.5^2 + 1^2 + 1^2} + \sqrt{0.5^2 + 1^2 + 1^2} + \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = 3 + 2\sqrt{2}\).
Длины медиан вычисляются по формулам: \(|AM_A| = \sqrt{0.5^2 + 0^2 + 0^2} = 0.5\), \(|BM_B| = \sqrt{0.25^2 + 1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{0.25^2 + 4.5} = \frac{1 + 72}{4}\), \(|CM_C| = \sqrt{0.25^2 + 1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{0.25^2 + 4.5} = \frac{1 + 72}{4}\).

Дано: треугольник ΔАВС с вершинами A(5, 1, -2), B(2, 2, -3) и C(2, 0, -1).

Решение:

1. Вычислим длины сторон треугольника ΔАВС:
— Длина стороны AB: \(|AB| = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + (-1)^2} =\)
\( =\sqrt{10} = \sqrt{0.5^2 + 1^2 + 1^2}\)
— Длина стороны BC: \(|BC| = \sqrt{(x_C — x_B)^2 + (y_C — y_B)^2 + (z_C — z_B)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2} =\)
\( = \sqrt{10} = \sqrt{0.5^2 + 1^2 + 1^2}\)
— Длина стороны CA: \(|CA| = \sqrt{(x_A — x_C)^2 + (y_A — y_C)^2 + (z_A — z_C)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-1)^2} =\)
\( = \sqrt{11} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}\)

2. Вычислим периметр треугольника ΔАВС:
\(P_{\Delta ABC} = |AB| + |BC| + |CA| = \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{11} = 3 + 2\sqrt{2}\)

3. Вычислим координаты середин медиан треугольника ΔАВС:
— Середина медианы AM: \(M_A = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right) = (2, 1, -2)\)
— Середина медианы BM: \(M_B = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2}\right) = (1.75, 0.5, -1.5)\)
— Середина медианы CM: \(M_C = \left(\frac{x_C + x_A}{2}, \frac{y_C + y_A}{2}, \frac{z_C + z_A}{2}\right) = (1.75, 1.5, -2.5)\)

4. Вычислим длины медиан треугольника ΔАВС:
— Длина медианы AM: \(|AM_{A}| = \sqrt{(x_A — x_{M_A})^2 + (y_A — y_{M_A})^2 + (z_A — z_{M_A})^2} =\)
\( = \sqrt{0.5^2 + 0^2 + 0^2} = 0.5\)
— Длина медианы BM: \(|BM_{B}| = \sqrt{(x_B — x_{M_B})^2 + (y_B — y_{M_B})^2 + (z_B — z_{M_B})^2} =\)
\( = \sqrt{0.25^2 + 1.5^2 + 1.5^2} = \frac{1 + 72}{4}\)
— Длина медианы CM: \(|CM_{C}| = \sqrt{(x_C — x_{M_C})^2 + (y_C — y_{M_C})^2 + (z_C — z_{M_C})^2} =\)
\( = \sqrt{0.25^2 + 1.5^2 + 1.5^2} = \frac{1 + 72}{4}\)

Ответ: Периметр треугольника ΔАВС равен \(3 + 2\sqrt{2}\), длины медиан равны \(0.5\), \(\frac{1 + 72}{4}\) и \(\frac{1 + 72}{4}\) соответственно.