Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 665 Атанасян — Подробные Ответы
Даны векторы а (3; -2; 1), б (-2; 3; 1) и \(\vec{c} (-3; 2; 1)\). Найдите: а) \(|a + b|\); б) \(|a + \vec{b}|\); в) \(|\vec{b} — \vec{b}|\); г) \(|a — b|\); д) \(|3|\); е) \(|\sqrt{4}|\); ж) \(|20 — 32|\).
Решение:
а) \(|a + b| = \sqrt{(3 — (-2))^2 + (-2 + 3)^2 + (1 + 1)^2} = \sqrt{25} = 5\)
б) \(|a + \vec{b}| = \sqrt{(3 + (-2))^2 + (-2 + 3)^2 + (1 + 1)^2} = \sqrt{16} = 4\)
в) \(|\vec{b} — \vec{b}| = \sqrt{(-2 + 2)^2 + (3 — 3)^2 + (1 — 1)^2} = 0\)
г) \(|a — b| = \sqrt{(3 — (-2))^2 + (-2 — 3)^2 + (1 — 1)^2} = \sqrt{25} = 5\)
д) \(|3| = 3\)
е) \(|\sqrt{14}| = \sqrt{14}\)
ж) \(|20 — 32| = 12\)
Решение:
Для нахождения длины вектора AB воспользуемся формулой:
\(|AB| = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\)
где $(x_A, y_A, z_A)$ и $(x_B, y_B, z_B)$ — координаты точек A и B соответственно.
а) Даны точки A(3, -2, 1) и B(-2, 3, 1). Подставляем координаты в формулу:
\(|AB| = \sqrt{(-2 — 3)^2 + (3 + 2)^2 + (1 — 1)^2}\)
\(|AB| = \sqrt{25 + 25 + 0}\)
\(|AB| = \sqrt{50}\)
\(|AB| = 5\)
б) Даны точки A(3, -2, 1) и B(-2, 3, 1). Подставляем координаты в формулу:
\(|AB| = \sqrt{(-2 — 3)^2 + (3 + 2)^2 + (1 — 1)^2}\)
\(|AB| = \sqrt{25 + 25 + 0}\)
\(|AB| = \sqrt{50}\)
\(|AB| = 4\)
в) Даны точки A(-2, 3, 1) и B(-2, 3, 1). Подставляем координаты в формулу:
\(|AB| = \sqrt{(-2 + 2)^2 + (3 — 3)^2 + (1 — 1)^2}\)
\(|AB| = \sqrt{0 + 0 + 0}\)
\(|AB| = 0\)
г) Даны точки A(3, -2, 1) и B(-2, 3, 1). Подставляем координаты в формулу:
\(|AB| = \sqrt{(-2 — 3)^2 + (3 + 2)^2 + (1 — 1)^2}\)
\(|AB| = \sqrt{25 + 25 + 0}\)
\(|AB| = \sqrt{50}\)
\(|AB| = 5\)
д) Для вектора \(\vec{c}\), имеющего координаты (-3, 2, 1), длина вектора равна:
\(|\vec{c}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 1^2}\)
\(|\vec{c}| = \sqrt{9 + 4 + 1}\)
\(|\vec{c}| = \sqrt{14}\)
\(|\vec{c}| = 3\sqrt{14}\)
е) Для вектора \(\vec{c}\), имеющего координаты (-3, 2, 1), длина вектора равна:
\(|\sqrt{14}\vec{c}| = \sqrt{14}\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 1^2}\)
\(|\sqrt{14}\vec{c}| = \sqrt{14}\sqrt{14}\)
\(|\sqrt{14}\vec{c}| = 14\)
ж) Для вектора \(\vec{c}\), имеющего координаты (-3, 2, 1), длина вектора равна:
\(|20 — 32| = |-12| = 12\)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.