Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 664 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите длины векторов: а) \(\left(5; -1; 7\right)\), б) \(\left(\frac{2}{3}; -6; 1\right)\), c = \(\vec{\imath} + \vec{\jmath} + \vec{k}\), d = -2\(\vec{k}\), m = \(\vec{\imath} — 2\vec{\jmath}\).
Для нахождения длины вектора AB будем использовать формулу:
\(|AB| = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\)
где \((x_A, y_A, z_A)\) и \((x_B, y_B, z_B)\) — координаты точек A и B соответственно.
a) Для точек A(5, -1, 7) и B(1, -1, 7):
\(x_A = 5, y_A = -1, z_A = 7\)
\(x_B = 1, y_B = -1, z_B = 7\)
Подставляем в формулу:
\(|AB| = \sqrt{(1 — 5)^2 + (-1 — (-1))^2 + (7 — 7)^2} = \sqrt{16 + 0 + 0} = \sqrt{16} = 4\)
б) Для точек A(2, \(\sqrt{3}\), -6) и B(2, \(\sqrt{3}\), 1):
\(x_A = 2, y_A = \sqrt{3}, z_A = -6\)
\(x_B = 2, y_B = \sqrt{3}, z_B = 1\)
Подставляем в формулу:
\(|AB| = \sqrt{(2 — 2)^2 + (\sqrt{3} — \sqrt{3})^2 + (1 — (-6))^2} = \sqrt{0 + 0 + 49} = 7\)
в) Для вектора \(\vec{c} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}\):
\(|c| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\)
г) Для вектора \(\vec{d} = -2\vec{k}\):
\(|d| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2)^2} = 2\)
д) Для вектора \(\vec{m} = \vec{i} — 2\vec{j}\):
\(|m| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{5}\)
Ответ: ответ выше
Для нахождения длины вектора AB будем использовать формулу:
\(|AB| = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\)
где \((x_A, y_A, z_A)\) и \((x_B, y_B, z_B)\) — координаты точек A и B соответственно.
a) Для точек A(5, -1, 7) и B(1, -1, 7):
Сначала определяем координаты точек:
\(x_A = 5, y_A = -1, z_A = 7\)
\(x_B = 1, y_B = -1, z_B = 7\)
Теперь подставляем значения в формулу:
\(
|AB| = \sqrt{(1 — 5)^2 + (-1 — (-1))^2 + (7 — 7)^2}
\)
Вычисляем каждую часть:
\((1 — 5)^2 = (-4)^2 = 16\),
\((-1 — (-1))^2 = 0^2 = 0\),
\((7 — 7)^2 = 0^2 = 0\).
Теперь складываем результаты:
\(
|AB| = \sqrt{16 + 0 + 0} = \sqrt{16} = 4
\)
б) Для точек A(2, \(\sqrt{3}\), -6) и B(2, \(\sqrt{3}\), 1):
Определяем координаты:
\(x_A = 2, y_A = \sqrt{3}, z_A = -6\)
\(x_B = 2, y_B = \sqrt{3}, z_B = 1\)
Подставляем значения в формулу:
\(
|AB| = \sqrt{(2 — 2)^2 + (\sqrt{3} — \sqrt{3})^2 + (1 — (-6))^2}
\)
Вычисляем каждую часть:
\((2 — 2)^2 = 0^2 = 0\),
\((\sqrt{3} — \sqrt{3})^2 = 0^2 = 0\),
\((1 — (-6))^2 = (1 + 6)^2 = 7^2 = 49\).
Теперь складываем результаты:
\(
|AB| = \sqrt{0 + 0 + 49} = \sqrt{49} = 7
\)
в) Для вектора \(\vec{c} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}\):
Координаты вектора:
\(x = 1, y = 1, z = 1\)
Подставляем в формулу:
\(
|c| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}
\)
Вычисляем:
\(
|c| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}
\)
г) Для вектора \(\vec{d} = -2\vec{k}\):
Координаты вектора:
\(x = 0, y = 0, z = -2\)
Подставляем в формулу:
\(
|d| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2)^2}
\)
Вычисляем:
\(
|d| = \sqrt{0 + 0 + 4} = \sqrt{4} = 2
\)
д) Для вектора \(\vec{m} = \vec{i} — 2\vec{j}\):
Координаты вектора:
\(x = 1, y = -2, z = 0\)
Подставляем в формулу:
\(
|m| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 0^2}
\)
Вычисляем:
\(
|m| = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5}
\)
Ответ: ответ выше
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.